高考文科數(shù)學圓錐曲線專題復習試題(編輯修改稿)
2025-05-14 12:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 由距離公式|AB|＝ 則有 由 從而 即 由于p0，解得 例4. 過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,設AB中點為(x0,y0),則kAB=－,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,設l的方程為y=－x+1.右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x′,y′),由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：設橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設直線，，，，，，，則，， 所以所求的橢圓方程為： 例5. 如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OPOP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.解：以O為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴兩漸近線OPOP2方程分別為y=x和y=－x設點P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.例6. 已知點B（－1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足（1）求點P的軌跡C對應的方程；（2）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過定點？試證明你的結論.（3）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率kk2滿足k1k2=：直線DE過定點，并求出這個定點.解：（1）設【模擬試題】（答題時間
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