20xx年高考數(shù)學試題分類匯編-專題圓錐曲線-理(編輯修改稿)
2025-05-11 10:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。 【命題意圖】：本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運算，動點軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學素養(yǎng)?！窘馕觥浚河芍猀,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)，，則，即 ①再設(shè),由，即，解得 ②將①代入②式，消去得 ③又點B在拋物線上，所以，再將③式代入得 ，即，即，因為，等式兩邊同時約去得 這就是所求的點的軌跡方程?！窘忸}指導】：向量與解析幾何相結(jié)合時，關(guān)鍵是找到表示向量的各點坐標，然后利用相關(guān)點代入法或根與系數(shù)關(guān)系解決問題，此外解析幾何中的代數(shù)式計算量都是很大的，計算時應(yīng)細致加耐心。3. (2011年高考全國新課標卷理科20)（本小題滿分12分） 在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,1)，B點在直線y = 3上，M點滿足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M點的軌跡為曲線C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。解析。 (Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,3),A(0,1).所以=（x,1y）, =(0,3y), =(x,2).再由題意可知（+）?=0, 即（x,42y）?(x,2)=0.所以曲線C的方程式為y=x2.(Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。，所以當=0時取等號，所以o點到距離的最小值為2.點評：此題考查曲線方程的求法、直線方程、點到直線的距離、用不等式求最值以及導數(shù)的應(yīng)用等。要把握每一個環(huán)節(jié)的關(guān)鍵。4. (2011年高考天津卷理科18)（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．解：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知,A,B兩點的坐標滿足方程組,消去y并整理,得,解得,得方程組的解,不妨設(shè),設(shè)點的坐標為,則,.由得,于是,由，即,化簡得,將代入,得,所以,因此,點的軌跡方程是.5.(2011年高考浙江卷理科21)（本題滿分15分）已知拋物線:，圓:的圓心為點M（Ⅰ）求點M到拋物線的準線的距離；（Ⅱ）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程【解析】（Ⅰ）由得準線方程為，由得M，點M到拋物線的準線的距離為（Ⅱ）設(shè)點 ， 由題意得設(shè)過點的圓的切線方程為即① 則即設(shè)，的斜率為（）則是上述方程的兩個不相等的根，將代入①得由于是方程的根故，所以，由得解得點的坐標為直線的方程為.6. (2011年高考江西卷理科20)（本小題滿分13分）是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值．解：（1）已知雙曲線E：，在雙曲線上，M，N分別為雙曲線E的左右頂點，所以，直線PM，PN斜率之積為而，比較得（2）設(shè)過右焦點且斜率為1的直線L：，交雙曲線E于A，B兩點，則不妨設(shè)，又，點C在雙曲線E上：*（1）又 聯(lián)立直線L和雙曲線E方程消去y得：由韋達定理得：，代入（1）式得：7. (2011年高考湖南卷理科21) （本小題滿分13分）如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.求，的方程；設(shè)與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線，分別與相交于點，.(ⅰ)證明： 。(ⅱ)記,的面積分別為，問：是否存在直線，使得？請說明理由.解：由題意知，從而，又，
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