20xx年高考試題匯編——理科數(shù)學(xué)：圓錐曲線(編輯修改稿)
2025-05-04 04:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 若雙曲線的離心率為，則的值為 ▲ ． 【答案】2。【考點】雙曲線的性質(zhì)。【解析】由得。 ∴，即，解得。三、解答題19.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P．（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值．【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點在橢圓上，得，∴。由點在橢圓上，得∴橢圓的方程為。（2）由（1）得，又∵∥， ∴設(shè)、的方程分別為。 ∴。 ∴。① 同理。② （i）由①②得。解得=2。 ∵注意到，∴。 ∴直線的斜率為。 （ii）證明：∵∥，∴，即。 ∴。 由點在橢圓上知，∴。 同理。 ∴ 由①②得，， ∴。 ∴是定值。 20.【2012高考真題浙江理21】(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力?！敬鸢浮?Ⅰ)由題：； (1)左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點P(2，1)到直線l的距離表示為：．∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，當|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時，(SABP)max＝．此時直線l的方程y＝﹣．21.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 (Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程。 (Ⅱ)設(shè)動圓與相交于四點，其中。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢浮俊军c評】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。本題考查綜合性較強，運算量較大。在求解點的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。22.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線．（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （Ⅱ）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（Ⅰ）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. ①因為點在單位圓上運動，所以. ②將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 因為，所以當時，曲線是焦
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