【文章內(nèi)容簡介】 題型三 。直線與圓錐曲線，已知其中一個交點時，可迅速求出另外一個交點。 1. （ 05 江西卷）如圖， M 是拋物線上 y2=x 上的一點，動弦 ME、 MF分別交 x 軸于 A、 B 兩點，且 MA=MB. （ 1）若 M 為定點，證明：直線 EF 的斜率為定值； （ 2）若 M 為動點，且∠ EMF=90176。，求△ EMF 的重心 G 的軌跡解：（ 1）設 M（ y20 ,y0），直線 ME 的斜率為 k(l0) 則直線 MF 的斜率為－ k，方程為 200( ).y y k x y? ? ? ∴由 2002()y y k x yyx? ? ? ??????，消 2 00(1 ) 0x k y y y k y? ? ? ?得 解得 20021 (1 ),FFk y k yyxkk??? ? ? ∴0022 000 022211 214( 1 ) ( 1 ) 2EFEF EFk y k yyy k k kkkyk y k yx x ykkk?? ?? ?? ? ? ? ????? ?(定值 ) 所 以直線 EF 的斜率為定值 （ 2） 9 0 , 4 5 , 1 ,E M F M A B k? ? ? ? ?當 時 所 以直線 ME 的方程為 200()y y k x y? ? ? 由 2002y y x yyx? ? ? ??????得 200((1 ) ,1 )E y y?? 同理可得 200((1 ) , (1 )).F y y? ? ? 設重心 G（ x, y），則有2 2 2 20 0 0 00 0 0 0( 1 ) ( 1 ) 2 33 3 3( 1 ) ( 1 )3 3 3M E FM E Fy y y yx x xxy y y yx x xx? ? ? ? ? ???? ? ????? ? ? ???? ? ? ? ??? 消去參數(shù) 0y 得 2 1 2 2( ).9 27 3y x x? ? ? 2. 09 浙江文） （本題滿分 15 分）已知拋物線 C ： 2 2 ( 0)x py p??上一點 ( ,4)Am 到其焦點的距離為 174 ． （ I）求 p 與 m 的值； x y O A B E F M （ II）設拋物線 C 上一點 P 的橫坐標為 ( 0)tt? ，過 P 的直線交 C 于另一點 Q ，交 x 軸于點 M ，過點 Q 作 PQ 的垂線交 C 于另一點 N ．若 MN 是 C 的切線，求 t 的最小值． 解析（ Ⅰ ）由拋物線方程得其準線方程：2py ??，根據(jù)拋物線定義 點 )4,(mA 到焦點的距離等于它到準線的距離，即41724 ?? p，解得21?p ?拋物線方程為： yx ?2 ，將 )4,(mA 代入拋物線方程，解得 2??m （ Ⅱ ）由題意知，過點 ),( 2ttP 的直線 PQ 斜率存在且不為 0，設其為 k 。 則 )(: 2 txktyl PQ ??? ，當 ,0 2k kttxy ???? 則 )0,( 2k kttM ?? 。 聯(lián)立方 程??? ? ??? yx txkty22 )( ，整理得： 0)(2 ???? tktkxx 即： 0)]()[( ???? tkxtx ，解得 ,tx? 或 tkx ?? ))(,( 2tktkQ ??? ，而 QPQN? ， ?直線 NQ 斜率為 k1? 21世紀教育網(wǎng) )]([1)(: 2 tkxktkyl NQ ??????? ，聯(lián)立方程 ????????????yxtkxktky22 )]([1)( 整理得： 0)()(11 22 ?????? tktkkxkx ，即： 0]1)()[(2 ?????? tkktkxkx 0)](][1)([ ?????? tkxtkkkx ，解得： ktkkx 1)( ??? ，或 tkx ? )]1)([,1)(( 2 2k tkkk tkkN ?????? ，)1()1(1)(]1)([2222222??????????????? ktk ktkkkttktkkktkkK NM 而拋物線在點 N 處切線斜率：k tkkyk k tkkx 2)(21)( ?????? ????切 ? MN 是 拋 物 線 的 切 線 ， k tkkktk ktk 2)(2)1( )1(2222 ?????? ???， 整 理 得021 22 ???? ttkk 0)21(4 22 ????? tt? ，解得 32??t （舍去），或 32?t ， 32min ??t 天津卷） 拋物線 C 的方程為 )0(2 ?? aaxy ，過拋物線 C 上一點 P(x0,y0)(x 0≠ 0)作斜率為 k1,k2 的兩條直線分別交拋物線 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)兩點 (P,A,B三點互不相同 )，且滿足 )10(012 ????? ??? 且kk . （Ⅰ）求拋物線 C 的焦點坐標和準線方程； （Ⅱ）設直線 AB 上一點 M，滿足 MABM ?? ，證明線段 PM 的中點在 y 軸上； （Ⅲ）當 ? =1 時，若點 P 的坐標為（ 1， 1），求∠ PAB 為鈍角時點 A 的縱坐標 1y 的取值范圍 . 解： （Ⅰ）由拋物線 C 的方程 2axy? （ 0?a ）得，焦點坐標為 )41,0( a ，準線方程為ay 41?? ． （Ⅱ）證明： 設直線 PA 的方程為 )( 010 xxkyy ??? ，直線 PB 的方程為)( 020 xxkyy ??? ． 點 ),( 00 yxP 和點 ),( 11 yxA 的坐標是方程組 0 1 02()y y k x xy ax? ? ???????①②的解 ．將 ②式代入①式得 000112 ???? yxkxkax ，于是 akxx 101 ??，故011 xakx ?? ③ 又點 ),( 00 yxP 和點 ),( 22 yxB 的坐標是方程組 0 2 02()y y k x xy ax? ? ???????④　 　 　 　 ⑤的解 ．將⑤式代入 ④式得 000222 ???? yxkxkax ．于是 220kxxa??，故 220kxxa??． 由已知得， 12 kk ??? ，則012 xkax ??? ?． ⑥ 設點 M 的坐標為 ),( MM yx ，由 BM MA?? ，則 ????? 1 12 xxxM． 將③式和⑥式代入上式得0001 xxxx M ?????? ??，即 00 ??xxM ． ∴線段 PM 的中點在 y 軸上． （Ⅲ）因為點 )1,1( ?P 在拋物線 2axy? 上，所以 1??a ，拋物線方程為 2xy ?? ． 由③式知 111 ??? kx ，代入 2xy ?? 得 211 )1( ??? ky ． 將 1?? 代入 ⑥ 式得 211xk??，代入 2xy ?? 得 222 )1( ??? ky ． 因此，直線 PA 、 PB 分別與拋物線 C 的交點 A 、 B 的坐標為 21 1 1( 1, 2 1)A k k k? ? ? ? ?， 21 1 1( 1, 2 1)B k k k? ? ? ?． 于是 21 1 1( 2 , 2 )A P k k k? ? ?， 11(2 ,4 )AB k k? ， 21 1 1 1 1 1 1 12 ( 2 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 1 )A P A B k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ?． 因 PAB? 為鈍角且 P 、 A 、 B 三點互不相同，故必有 0AP AB??． 求得 1k 的取值范圍是 1 2k?? 或11 02 k? ? ?．又點 A 的縱坐標 1y 滿足 211( 1)yk?? ? ，故 當 1 2k?? 時， 1 1y?? ；當11 02 k? ? ?時，1 11 4y? ? ??．即1 1( , 1) ( 1, )4y ? ?? ? ? ? 06 湖北卷）設 ,AB分別為橢圓22 1( , 0 )xy abab? ? ?的左、右頂點， 橢圓長半軸的長等于焦距，且 4x? 為它的右準線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設 P 為右準線上不同于點（ 4， 0）的任意一點，若直線 ,APBP 分別與橢圓相交于異于 ,AB的點 MN、 ，證明點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)。 點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。 解： （Ⅰ）依題意得 a＝ 2c， ca2 ＝ 4，解得 a＝ 2， c＝ 1，從而 b＝ 3 . 故橢圓的方程為 134 22 ?? yx . （Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0），B（ 2， 0） .設 M（ x0， y0） . ∵ M 點在橢圓上，∴ y0＝ 43 （ 4－ x02） . ○ 1 21 1 2 3 4 2 2 4BAMN又點 M 異于頂點 A、 B，∴－ 2x02，由 P、 A、 M 三點共線可以得 P（ 4，260 0?xy） . 從而 BM ＝（ x0－ 2， y0）， BP ＝（ 2，260 0?xy） . ∴ BM 178。 BP ＝ 2x0－ 4＋26020?xy＝220?x（ x02－ 4＋ 3y02） . ○ 2 將 ○ 1 代入 ○ 2 ，化簡得 BM 178。 BP ＝25（ 2－ x0） . ∵ 2－ x00，∴ BM 178。 BP 0，則∠ MBP 為銳角，從而∠ MBN 為鈍角， 故點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)。 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0）， B（ 2， 0） .設 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， 則－ 2x12，－ 2x22，又 MN 的中點 Q 的坐標為（ 2 21 xx? ， 2 21 yy? ）， 依題意，計算點 B 到圓心 Q 的距離與半徑的差 2BQ － 241MN ＝ ( 2 21 xx? － 2）2＋（2 21 yy? ）2－41 [(x1－ x2)2＋ (y1－ y2)2] ＝（ x1－ 2) (x2－ 2)＋ y1y1 ○ 3 又直線 AP 的方程為 y＝ )2(21 1 ?? xx y，直線 BP 的方程為 y＝ )2(22 2 ?? xx y， 而點兩直線 AP 與 BP 的交點 P 在準線 x＝ 4 上， ∴2626 2 21 1 ??? x yx y，即 y2＝2)23 1 12 ??x yx（ ○ 4 又點 M 在橢圓上，則 134 2121 ?? yx ，即 )4(43 2121 xy ?? ○ 5 于是將 ○ 4 、 ○ 5 代入 ○ 3 ，化簡后可得 2BQ － 241MN ＝ 0)2)(24521 ??xx－（. 從而， 點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)。 用了題型 3 與題型 1，對 B 在圓內(nèi)處理方法比較好。 (06 重慶卷 )如圖，對每個正整數(shù) n ， ( , )n n nA x y 是拋物線 2 4xy? 上的點，過焦點 F 的直線nFA 角拋物線于另一點 ( , )n n nB s t 。 （Ⅰ）試證： 4( 1)nnx s n?? ? ； （Ⅱ）取 2nnx? ，并記 nC 為拋物線上分別以 nA 與 nB 為切點的兩條切線的交點。試證： 112 2 2 1nnnF C F C F C ??? ? ? ? ? ?； 證明：（Ⅰ）對任意固定的 1,n? 因為焦點 F（ 0,1） ,所以可設直線 nnAB 的方 程為 1,ny k x?? 將它與拋物線方程 2 4xy? 聯(lián)立得 : 2 4 4 0nx k x? ? ?,由一元二次方程根與系數(shù)的關系得 4( 1)nnx s n?? ? ． （Ⅱ）對任意固定的 1,n? 利用導數(shù)知識易得拋物線 2 4xy? 在 nA 處的切線的斜率,2n nA xk ? 故 2 4xy? 在 nA 處的切線的方程為： ()2nnnxy y x x? ? ?，…… ① 類似地，可求得 2 4xy? 在 nB 處的切線的方程為： ()2nnnsy t x s? ? ?，…… ② 由 ② － ① 得： 2 2 2 22 2 4 4n n n n n nnn x s x s x sy t x??? ? ? ? ? ?， 22 ,2 4 2n n n n n nx s x s x sxx? ? ?? ? ?…… ③ 將 ③ 代入 ① 并注意 4nnxs?? 得交點 nC 的坐標為 ( , 1)2nnxs? ? ． 由兩點間的距離公式得： 222 2( ) 4 22 4 4n n n n