高中數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題大全(編輯修改稿)
2025-09-01 18:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 AB的方程為 解法2：設(shè)則有 依題意，∵N（1，3）是AB的中點， ∴又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴∴的取值范圍是（12，+∞）.直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設(shè)CD的中點為是方程③的兩根，∴于是由弦長公式可得 ④將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得 ⑤同理可得 ⑥∵當(dāng)時，假設(shè)存在12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故當(dāng)12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN||DN|，即 ⑧由⑥式知，⑧式左邊由④和⑦知，⑧式右邊∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ12,∵CD垂直平分AB， ∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 ③將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得 ⑤解③和⑤式可得 不妨設(shè)∴計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓.（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想. （Ⅰ）證法1：∵當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n≥3時有，∵證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （Ⅱ）有極限，且 （Ⅲ）∵則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時，都有：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則(Ⅱ)、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，.解：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點關(guān)于原點的對稱點為，則∵點在函數(shù)的圖象上∴(Ⅱ)由當(dāng)時，此時不等式無解.當(dāng)時，解得.因此，原不等式的解集為.（Ⅲ）①②ⅰ）ⅱ）數(shù)學(xué)壓軸題圓錐曲線類三1.（Ⅰ）證法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 ………………………3分證法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為 由橢圓第二定義得，即 由，所以…………………………3分（Ⅱ）解法一：設(shè)點T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在△QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是…………………………7分解法二：設(shè)點T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上. 當(dāng)|時，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（），則 因此 ① 由得 ② 將①代入②，可得 綜上所述，點T的軌跡C的方程是……………………7分③④ （Ⅲ）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是 由③得，由④得 所以，當(dāng)時，存在點M，使S=； 當(dāng)時，不存在滿足條件的點M.………………………11分 當(dāng)時， 由， ， ，得解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是③④ 由④得 上式代入③得 于是，當(dāng)時，存在點M，使S=； 當(dāng)時，不存在滿足條件的點M.………………………11分 當(dāng)時，記， 由知，所以…………14分，函數(shù)極值、 （Ⅰ）解：…………………………………………2分 （Ⅱ）證明：令 因為遞減，所以遞增，因此，當(dāng)； ，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即…………………………6分 （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對任意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為 于是的充要條件是…………………………10分 綜上，不等式對任意成立的充要條件是
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