高考圓錐曲線典型例題(編輯修改稿)
2025-05-14 13:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，2B，兩焦點(diǎn)為 1F， 2. 若以 12A為直徑的圓內(nèi)切于菱形 12FB，切點(diǎn)分別為 ,CD. 則（Ⅰ）雙曲線的離心率 e? ；（Ⅱ）菱形 的面積 1S與矩形 B的面積 2S的比值 12? .【答案】 。215??e25S【例 3】由題意知| x1|＞ ， A1(－ ，0)， A2( ，0)，則有直線 A1P 的方程為 y＝ (x＋ )，①直線 A2Q 的方程為 y＝ (x－2 2 2y1x1＋ 2 2 － y1x1－ 2).②方法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為 x＝ ， y＝ ，即 x1＝ ， y1＝ ，③則 x≠0，| x|＜ .22x1 2y1x1 2x 2yx 2而點(diǎn) P(x1， y1)在雙曲線 － y2＝1 上，所以 － y ＝1.x22 x212 21.. . . ..學(xué)習(xí)參考將③代入上式，整理得所求軌跡 E 的方程為 ＋ y2＝1， x≠0 且 x≠177。 .x22 2方法二：設(shè)點(diǎn) M(x， y)是 A1P 與 A2Q 的交點(diǎn)，①②得 y2＝ (x2－2).③－ y21x21－ 2又點(diǎn) P(x1， y1)在雙曲線上，因此 － y ＝1，即 y ＝ －1.x212 21 21 x212代入③式整理得 ＋ y2＝1.x22因?yàn)辄c(diǎn) P， Q 是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn) A1， A1和 A2均不在軌跡 E (0,1)及 A2( ，0)的直線 l 的方程為2x＋ y－ ＝ 2解方程組 ???????1,02yx得 x＝ ， y＝ l 與雙曲線只有唯一交點(diǎn) 故軌跡 E 不過(guò)點(diǎn)(0,1).同理軌跡 E 也不過(guò)點(diǎn)(0，－1).綜上分析，軌跡 E 的方程為 ＋ y2＝1， x≠0 且 x≠177。 .x22 2(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) H(0， h)的直線為 y＝ kx＋ h(h＞1)，聯(lián)立 ＋ y2＝1 得(1＋2 k2)x2＋4 khx＋2 h2－2＝0.x22令 Δ ＝16 k2h2－4(1＋2 k2)(2h2－2)＝0，得 h2－1－2 k2＝0，解得 k1＝ ， k2＝－ .由于 l1⊥ l2，則 k1k2＝－ ＝－1，故 h＝ .h2－ 12 h2－ 12 h2－ 12 3過(guò)點(diǎn) A1， A2分別引直線 l1， l2通過(guò) y 軸上的點(diǎn) H(0， h)，且使 l1⊥ l2，因此 A1H⊥ A2H，由 (－ )＝－1，得 h＝ .h2 h2 2此時(shí)， l1， l2的方程分別為 y＝ x＋ 與 y＝－ x＋ ，2 2它們與軌跡 E 分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(－ ， )與( ， ).23 2 23 23 2 23所以，符合條件的 h 的值為 或 .3 2【變式訓(xùn)練 3】據(jù)題意設(shè)| AF1|＝ x，則| AB|＝ x，| BF1|＝ 由雙曲線定義有| AF1|－| AF2|＝2 a，| BF1|－| BF2|＝2 a?(|AF1|＋| BF1|)－(| AF2|＋| BF2|)＝( ＋1) x－ x＝4 a，即 x＝2 a＝| AF1|.2 2故在 Rt△ AF1F2中可求得| AF2|＝ ＝ .|F1F2|2－ |AF1|2 4c2－ 8a2又由定義可得| AF2|＝| AF1|－2 a＝2 a－2 a，即 ＝2 －2 a，兩邊平方整理得 c2＝ a2(5－2 )? ＝ e2＝5－2 ，.2 4c2－ 8a2 2 2c2a2 2 拋物線典例精析題型一 拋物線定義的運(yùn)用【例 1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線過(guò)點(diǎn) P(2，－4)；(2)拋物線焦點(diǎn) F 在 x 軸上，直線 y＝－3 與拋物線交于點(diǎn) A，| AF|＝5.【解析】(1) y2＝8 x 或 x2＝－ y.(2)方程為 y2＝177。2 x 或 y2＝177。18 x.【變式訓(xùn)練 1】已知 P 是拋物線 y2＝2 x 上的一點(diǎn)，另一點(diǎn) A(a,0) (a＞0)滿足| PA|＝ d，試求 d 的最小值... . . ..學(xué)習(xí)參考【解析】 dmin＝ .2a－ 1題型二 直線與拋物線位置討論 【例 2】(2022 湖北)已知一條曲線 C 在 y 軸右側(cè)， C 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F(1,0)的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1.(1)求曲線 C 的方程；(2)是否存在正數(shù) m，對(duì) 于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A， B 的任一直線，都有 FBA?＜0？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1) y2＝4 x(x＞0).(2)3－2 ＜ m＜3＋2 .2 2由此可知，存在正數(shù) m，對(duì)于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A， B 的任一直線，都有 FA B＜ 0，且 m 的取值范圍是 (3－2 ，3＋2 ).2 2【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線 y2＝4 x 的一條弦 AB， A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 所在直線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則 ＋ ＝ .【解析】 . 1y1 1y2 12題型三 有關(guān)拋物線的綜合問(wèn)題【例 3】已知拋物線 C： y＝2 x2，直線 y＝ kx＋2 交 C 于 A， B 兩點(diǎn)， M 是線段 AB 的中點(diǎn)，過(guò) M 作 x 軸的垂線交 C 于點(diǎn) N.(1)求證：拋物線 C 在點(diǎn) N 處的切線與 AB 平行； (2)是否存在實(shí)數(shù) k 使 A B＝0？若存在，求 k 的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】【點(diǎn)撥】直線與拋 物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意弦是否過(guò)焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式| AB|＝ x1＋ x2＋ p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須使用弦長(zhǎng)公式.【變式訓(xùn)練 3】已知 P 是拋物線 y2＝2 x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作圓( x－3) 2＋ y2＝1 的切線，切點(diǎn)分別為 M、 N，則| MN|的最小值是 .【解析】 .4 55總結(jié)提高，焦點(diǎn) F 不在準(zhǔn)線 l 上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若 F 在 l 上，則拋物線退化為一條直線... . . ..學(xué)習(xí)參考：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p；(4)過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(通徑)長(zhǎng)為 2p.，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照， 1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過(guò)拋物線 y2＝2 px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于 A、
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