圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2024-07-16 00:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長為18，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。解：頂點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之和為定值10，且大于兩定點(diǎn)間的距離，因此頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故頂點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以y≠＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)2．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a5)，它的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且F1F2＝8，弦AB過點(diǎn)F1，求△ABF2的周長．因?yàn)镕1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周長為4a＝4.3．設(shè)FF2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面積．解析：由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面積為PF1PF2＝24＝4.七、直線與橢圓的位置問題例 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程．分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求．解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，并整理得．由韋達(dá)定理得．∵是弦中點(diǎn)，∴．故得．所以所求直線方程為．解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、則由題意得①－②得． ⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．雙曲線典型例題一、根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷圓錐曲線的類型。例1 討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征．分析：由于，則的取值范圍為，，分別進(jìn)行討論．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所給方程表示橢圓，此時(shí)，，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)（－4，0），（4，0）．（2）當(dāng)時(shí)，，所給方程表示雙曲線，此時(shí)，，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)（－4，0），）（4，0）．（3），時(shí)，所給方程沒有軌跡．說明：將具有共同焦點(diǎn)的一系列圓錐曲線，稱為同焦點(diǎn)圓錐曲線系，不妨取一些值，畫出其圖形，體會(huì)一下幾何圖形所帶給人們的美感．二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．（2），經(jīng)過點(diǎn)（－5，2），焦點(diǎn)在軸上．（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)解：（1）設(shè)雙曲線方程為∵ 、兩點(diǎn)在雙曲線上，∴解得∴所求雙曲線方程為說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的．（2）∵焦點(diǎn)在軸上，∴設(shè)所求雙曲線方程為：（其中）∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（－5，2），∴∴或（舍去）∴所
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