【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，應(yīng)首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，看能否確定軌跡的類型，而不要起步就代入坐標(biāo)，以致陷入繁瑣的化簡(jiǎn)運(yùn)算之中．　已知兩定點(diǎn)A、B，且|AB|＝8，M是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且|AM|＝10，線段BM的垂直平分線交AM于P點(diǎn)，P點(diǎn)的軌跡是什么圖形？解　如右圖所示|PB|=|PM|，|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10，|AB|=8，所以|PA|+|PB||AB|，所以P點(diǎn)軌跡是橢圓．知識(shí)點(diǎn)三　橢圓定義的綜合應(yīng)用　設(shè)M是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)F2為焦點(diǎn)，∠F1MF2＝，求△MF1F2的面積．分析　在△MF1F2中，已知|F1F2|和∠F1MF2＝，況且|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，可根據(jù)余弦定理求得|MF1|和|MF2|的長(zhǎng)，再利用面積公式可求．解　橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝9.∴a＝5，b＝4，c＝3.∴|F1F2|＝2c＝6,2a＝10.設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2.在△MF1F2中，由余弦定理，得：r＋r－|F1F2|2＝2r1r2cos.即(r1＋r2)2－2r1r2－36＝r1r2.根據(jù)橢圓的定義，有r1＋r2＝10.∴r1r2＝＝64(2－)，∴S△MF1F2＝r1r2sin＝32－16.【反思感悟】　橢圓中，△MF1F2往往稱為焦點(diǎn)三角形．在△MF1F2中，|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，求解有關(guān)問(wèn)題時(shí)，注意正、余弦定理的運(yùn)用．　如圖△ABC中底邊BC＝12，其它兩邊AB和AC上中線的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點(diǎn)A的軌跡方程．解　以BC所在直線為x軸，BC邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD為AB、AC邊上的中線，則|BD|＋|CE|＝30.由重心性質(zhì)可知|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.∵B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，G點(diǎn)到B、C距離和等于定值20，且2012，∴G點(diǎn)軌跡是橢圓，B、C是橢圓焦點(diǎn)．2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10，b2=a2c2=10262=64，故G點(diǎn)軌跡方程為 ,，去掉(10,0)、(10,0)兩點(diǎn)．又設(shè)G(x′，y′)，A(x，y)，則有 又∵∴ 故A點(diǎn)的軌跡方程為 ，去掉(30,0)、(30,0)兩點(diǎn).課堂小結(jié)：，所謂標(biāo)準(zhǔn)位置，就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：（1）(ab0),焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(177。c,0)，焦距2c；（2）(ab0)，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,177。c)，焦距2c.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上..課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓＋＝1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)FF2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為(　　)A．20　　　B．22　　　C．28　　　D．24答案　D解析　由|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，得2|PF1||PF2|＝142－100＝96.又因PF1⊥PF2，所以S＝|PF1||PF2|＝24.2．一動(dòng)圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1答案　A解析　兩定圓的圓心和半徑分別為O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9，設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.所以|MO1|＋|MO2|＝10.由橢圓的定義知：M在以O(shè)O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a＝5，c＝＝a2－c2＝25－9＝16.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為＋＝.3．橢圓＋＝1上的一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于(　　)A．2 B．4 C．8 D.答案　B解析　因?yàn)閨MF1|＋|MF2|＝10，|ON|＝|MF2|，因?yàn)閨MF2|＝8，所以|ON|＝4.4．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　)A．177。 B．177。 C．177。 D．177。答案　A解析　因?yàn)榫€段PF1的中點(diǎn)在y軸上，所以PF2⊥x軸，F(xiàn)2為另一焦點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.M是PF1的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)是177。.二、填空題5．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是__________．答案　圓解析　如圖所示，因?yàn)镻是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|=2a為常數(shù)；又因?yàn)閨PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=2a，即|QF1|=2a為常數(shù)．即動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離為定值，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，以2a為半徑的圓．故Q的軌跡為圓．6．橢圓＋＝1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．答案　(177。3,0)解析　設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1||PF2|≤2＝2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號(hào)；由，解得：|PF1|＝|PF2|＝5＝a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即P(177。3,0)．7．點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____________________．答案　x＝－3 (y≠0)解析　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知，得直線AM的斜率kAM＝(x≠－1)；直線BM的斜率kBM＝(x≠1)．由題意，得＝2，所以，＝2(x≠177。1，y≠0)．化簡(jiǎn)，得x＝－3(y≠0)．因此，點(diǎn)M的軌跡是直線x＝－3，并去掉點(diǎn)(－3,0)．三、解答題8．已知一直線與橢圓4x2＋9y2＝36相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1)，求直線AB的方程．解　方法一　由題意直線AB的斜率存在，設(shè)通過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線AB的方程為y＝k(x－1)＋1代入橢圓方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為xx2，則＝＝1，解得k＝－，故AB的方程為y＝－(x－1)＋1，所以所求方程為4x＋9y－13＝0.方法二　設(shè)A(x1，y1)，因?yàn)锳B中點(diǎn)為M(1,1)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)是(2－x1,2－y1)．將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程4x2＋9y2＝36，得4x＋9y－36＝0，①及4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，化簡(jiǎn)為4x＋9y－16x1－36y1＋16＝0.②①式－②式得16x1＋36y1－52＝0，化簡(jiǎn)為4x1＋9y1－13＝0.同理可推出4x2＋9y2－13＝0.因?yàn)锳(x1，y1)與B(x2，y2)都滿足方程4x＋9y－13＝0，所以4x＋9y－13＝0即為所求．9．設(shè)x、y∈R，i、j分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量，a＝x i＋(y＋2)j，b＝x i＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.(1)求點(diǎn)M(x，y)的軌跡方程．（2）過(guò)點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C（為（1）問(wèn)中點(diǎn)M的軌跡）交于A、B兩點(diǎn)，＝＋，是否存在這樣的直線l使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．解　(1)由|a|＋|b|＝8，得＋＝8，即點(diǎn)M(x，y)到兩定點(diǎn)F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)的距離和為定值8，且|F1F2|8.所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其方程為＋＝1.(2)設(shè)l的斜率為k，l的方程為y＝kx＋3，代入橢圓方程得＋＝1，即(3k2＋4)x2＋18kx－21＝0.設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝－，＝＋，四邊形OAPB是平行四邊形．要使其是矩形只需OA⊥OB即可，即x1x2＋y1y2＝0.y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9，所以(1＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0，＋＋9＝0，解得k2＝，即k＝177。.所以l存在，其方程為y＝177。x＋3.＝2，＝0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．（1）∵＝2，＝0∴NP為AM的中垂線，|NA|＝|NM|又因?yàn)閨CN|＋|NM|＝10，所以|CN|＋|NA|＝106所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(－3,0)和A(3,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝10，所以曲線E的方程為：＋＝1；(2)設(shè)直線與橢圓交與G(x1，y1)，H(x2，y2)兩點(diǎn)，中點(diǎn)為S(x，y)由點(diǎn)差法可得：弦的斜率k＝＝－＝－.由S(x，y)，Q(2,1)兩點(diǎn)可得弦的斜率為k＝，所以k＝＝－，化簡(jiǎn)可得中點(diǎn)的軌跡方程為：16x2＋25y2－32x－25y＝0.2．　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一　由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)　設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離為4(－1)，求此橢圓方程及它的離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)．分析　設(shè)出橢圓方程，再依據(jù)橢圓幾何性質(zhì)建立參數(shù)關(guān)系式確定橢圓方程，進(jìn)而可使其他問(wèn)題解決．解　設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1(ab0)，則解得所以所求的橢圓方程為＋＝1，或＋＝1.離心率e＝＝，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，焦點(diǎn)為(－4,0)，(4,0)，頂點(diǎn)(－4，0)，(4，0)，(0，－4)，(0,4)，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，頂點(diǎn)(－4,0)，(4,0)，(0，－4)，(0,4)．【反思感悟】　解決這類問(wèn)題關(guān)鍵是將所給方程正確地化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系求橢圓的幾何性質(zhì)．　已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m的離心率e＝，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)．解　橢圓方程可化為＋＝1，∴m－＝0，∴m，∴a2＝m，b2＝，c＝＝ .∵e＝＝，∴ ＝∴m＝1∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(177。，0)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(－1,0)，(0，)(0，－)．知識(shí)點(diǎn)二　由橢圓的