【正文】 橢圓典例剖析知識(shí)點(diǎn)一　橢圓定義的應(yīng)用　方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是________．解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以16＋m25－m，即m，又因?yàn)閎2＝25－m0，故m25，所以m的取值范圍為m：m25 知識(shí)點(diǎn)二　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)．(2)經(jīng)過點(diǎn)A(，)，B(0，－)．(1)解　方法一　橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．由橢圓定義知：2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，因?yàn)閏＝4，所以a2－b2＝c2＝(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)方法一　①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得又因?yàn)閍b，所以該方程組無解．②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．依題意有解得所以方程為＋＝1.綜上知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依題意有解得所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.練習(xí)：過點(diǎn)(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析：因?yàn)閏2＝9－4＝5，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝＋＝：＋＝1知識(shí)點(diǎn)三　根據(jù)方程研究幾何性質(zhì)　求橢圓25x2＋16y2＝400的長軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．解　將方程變形為＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝＝10,2b＝8，離心率e＝＝，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)，(0,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知識(shí)點(diǎn)四　根據(jù)幾何性質(zhì)求方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長是6，離心率是.(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.解　(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.(2)設(shè)橢圓方程為 (ab0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求橢圓的方程為,知識(shí)點(diǎn)五　求橢圓的離心率　如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的，求橢圓的離心率．解　方法一　設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a，b， (c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(c， b)，則△MF1F2為直角三角形．在Rt△M F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知識(shí)點(diǎn)六　直線與橢圓的位置關(guān)系問題　當(dāng)m取何值時(shí)，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離．解　由題意，得①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化簡(jiǎn)，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14 400.當(dāng)Δ＝0時(shí)，得m＝177。5，直線l與橢圓相切．Δ0時(shí)，得－5m5，直線l與橢圓相交．當(dāng)Δ0時(shí)，得m－5，或m5，直線l與橢圓相離．知識(shí)點(diǎn)七　中點(diǎn)弦問題已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點(diǎn)，求l的方程．解　設(shè)l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減，得kAB＝＝－＝－＝－.∴l(xiāng)的方程為：y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.考題賞析　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(江西高考)設(shè)橢圓＋＝1(ab0)的離心率為e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)(　　)A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi)B．必在圓x2＋y2＝2上C．必在圓x2＋y2＝2外D．以上三種情形都有可能解析　∵x1＋x2＝－，x1x2＝－.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝a2－c2＝a2－2＝a2.∴x＋x＝＝2.∴P(x1，x2)在圓x2＋y2＝2內(nèi)．答案　A2．(浙江高考)如圖所示，AB是平面α的斜線段，A為斜足．若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　)A．圓 B．橢圓C．一條直線 D．兩條平行直線解析　由題意可知P點(diǎn)在空間中的軌跡應(yīng)是以AB為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱面，又P點(diǎn)在平面α內(nèi)，所以P點(diǎn)的軌跡應(yīng)是該圓柱面被平面α所截出的橢圓． 答案　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則△PF1F2的周長為(　　)A．16 B．18C．20 D．不確定答案　B解析　△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋＝10，c＝＝4，周長為10＋8＝18.2．a(chǎn)＝6，c＝1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D．以上都不對(duì)答案　D解析　因焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，故標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種可能．故選D.3．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1答案　A解析　由題意2a＝18,2c＝2a＝6∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.4．已知FF2是橢圓＋＝1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率為(　　)A. B.C. D.答案　A解析　|AF1|＝，故有tan60176。＝∴2c＝∴(2ac)2＝3(a2－c2)2解得e＝＝.5．設(shè)橢圓＋＝1的離心率為，則m的值是(　　)A．3 B. D．2或答案　C解析　當(dāng)m4時(shí)，此時(shí)有＝，所以m＝；當(dāng)0m4時(shí)，＝，所以m＝3.6．直線y＝x與橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為________．答案　解析　當(dāng)x＝c時(shí)，y＝177。，∴＝c即＝c　∴e2＋e－1＝0，解得e＝.7．傾斜角為的直線交橢圓＋y2＝1于A，B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．答案　x＋4y＝0(－x)解析　設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，整理，得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，則所以x＋4y＝0.由Δ＝64b2－454(b2－1)0，得－b，故－x.8．求過點(diǎn)A(2,0)，且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．解　將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x＋2)2＋y2＝62，這時(shí)，已知圓的圓心坐標(biāo)為B(－2,0)，半徑為6，如圖所示．設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，由于動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為C.∴已知圓(大圓)半徑與動(dòng)圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離．∴即|BC| |MC|=|BM|.而|BC|=6，∴|BM|+|CM|=6.又|CM|=|AM|，∴|BM|+|AM|=6.根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)和點(diǎn)A(2,0)為焦點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓．∴a=3，c=2，b=∴所求圓心的軌跡方程為 , ＋＝19．求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)；(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為；(3)經(jīng)過點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2)兩點(diǎn)；(4)與橢圓＋＝1有相同離心率，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－)．解　(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過點(diǎn)A(3,0)，∴＝1，a＝3，∵2a＝32b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過點(diǎn)A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3,2a＝32b，∴a＝9，∴方程為＋＝1.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1或＋＝1.(2)由已知∴從而b2＝9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.(3)設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2)在橢圓上，代入上述方程得，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(4)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝t(t0)，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)(2，－)，所以t＝＋＝2，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.10．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．解　(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，∴b＝1，∴所求橢圓方程為＋y2＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|＝.②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m代入橢圓方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)＝＝＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.當(dāng)且僅當(dāng)9k2＝，即k＝177。時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝，綜上所述|AB|max＝2.∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△A