【正文】 cos60176。cos120176。求的值.解　(1)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x，y)＝( ＋ )?(x，y)＝[(x1，y1)＋(x2，y2)]?由x2+2y2=2?，易得右焦點F(1,0)．當直線l⊥x軸時，直線l的方程是：x=1，根據對稱性可知R(1,0)當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=k(x 1)代入E有(2k2+1)x2 4k2x+2k2 2=0Δ=8k2+80；x1+x2=于是R(x，y)：x = = ；y = k(x 1)，消去參數k得x2+2y2 – x = 0而R(1,0)也適合上式，故R的軌跡方程是x2+2y2 – x = 0. (2)設橢圓另一個焦點為F′，在△PF′F中∠PFF′=120176。 = 0，知PF1⊥PF2，△PF1F2是Rt△.tan∠PF1F2＝＝，得|PF1|＝2|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，5|PF2|2＝(2c)2，∴50) D．(0，177。2)，化簡得＋＝1(x≠177。|PF2|取得最小值a2－c2＝b2.所以|PF1||PF2|的最大值和最小值．分析　由橢圓的定義可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，設|PF1|＝x，則|PF2|＝2a－x，于是有|PF1|x2＝2＋4＝.∴|| = = = 。時，x1＋x2＝177。＝－1，解得c＝＋＝1.因為點P(3,4)在橢圓上，所以＋＝1.解得a2＝45或a2＝c，所以a2＝5舍去．故所求橢圓方程為＋＝1. 方法二　因為PF1⊥PF2，所以△PF1F2為直角三角形．所以|OP|＝|F1F2|＝c.又|OP|＝＝5，所以c＝5.所以橢圓方程為＋＝1(以下同方法一)．(2)由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝6，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②得2|PF1| = 0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是 (　　)A．(0,1) B.C. D.答案　C解析 ∵ |PF2|的最大值與最小值之差一定是(　　)A．1 B．a2 C．b2 D．c2答案　D解析　由橢圓的幾何性質得|PF1|∈[a－c，a＋c]，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝＝－1≥－1＝－1＝1－2()2＝1－2e2(當且僅當m＝n時取“＝”號)所以e2≥，又e∈(0,1)，所以e∈[，1)(2)證明　在△PF1F2中，由余弦定理可知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF2||PF1|= 2,∵=，∴b2=8，∴a2=2b2=16，故橢圓的方程為 【反思感悟】　由橢圓的幾何性質，求橢圓標準方程的一般步驟是：(1)構造方程求出a、b的值；(2)確定焦點所在的坐標軸；(3)寫出標準方程．. 已知FF2是橢圓 (ab0)的左、右兩個焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，點B也在橢圓上，且滿足＋＝0(O是坐標原點)，AF2⊥，△ABF2的面積等于4，求橢圓的方程．解 由＋＝0知，直線AB經過原點，∵e＝＝，∴b2＝a2，設A(x，y)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得＋＝1，∴y＝，連結AF1，BF1，AF2，BF2，由橢圓的對稱性可知S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，所以＝0∴NP為AM的中垂線，|NA|＝|NM|又因為|CN|＋|NM|＝10，所以|CN|＋|NA|＝106所以動點N的軌跡是以點C(－3,0)和A(3,0)為焦點的橢圓，且2a＝10，所以曲線E的方程為：＋＝1；(2)設直線與橢圓交與G(x1，y1)，H(x2，y2)兩點，中點為S(x，y)由點差法可得：弦的斜率k＝＝－＝－.由S(x，y)，Q(2,1)兩點可得弦的斜率為k＝，所以k＝＝－，化簡可得中點的軌跡方程為：16x2＋25y2－32x－25y＝0.2．　橢圓的簡單幾何性質. 對點講練知識點一　由橢圓方程研究其幾何性質　設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離為4(－1)，求此橢圓方程及它的離心率、焦點坐標、頂點坐標．分析　設出橢圓方程，再依據橢圓幾何性質建立參數關系式確定橢圓方程，進而可使其他問題解決．解　設所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1(ab0)，則解得所以所求的橢圓方程為＋＝1，或＋＝1.離心率e＝＝，當焦點在x軸上時，焦點為(－4,0)，(4,0)，頂點(－4，0)，(4，0)，(0，－4)，(0,4)，當焦點在y軸上時，焦點為(0，－4)，(0,4)，頂點(－4,0)，(4,0)，(0，－4)，(0,4)．【反思感悟】　解決這類問題關鍵是將所給方程正確地化為標準形式，然后根據方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用a，b，c之間的關系求橢圓的幾何性質．　已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m的離心率e＝，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標．解　橢圓方程可化為＋＝1，∴m－＝0，∴m，∴a2＝m，b2＝，c＝＝ .∵e＝＝，∴ ＝∴m＝1∴橢圓的長軸長為2，短軸長為1，焦點坐標為(177。1，y≠0)．化簡，得x＝－3(y≠0)．因此，點M的軌跡是直線x＝－3，并去掉點(－3,0)．三、解答題8．已知一直線與橢圓4x2＋9y2＝36相交于A、B兩點，弦AB的中點坐標為M(1,1)，求直線AB的方程．解　方法一　由題意直線AB的斜率存在，設通過點M(1,1)的直線AB的方程為y＝k(x－1)＋1代入橢圓方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.設A、B的橫坐標分別為xx2，則＝＝1，解得k＝－，故AB的方程為y＝－(x－1)＋1，所以所求方程為4x＋9y－13＝0.方法二　設A(x1，y1)，因為AB中點為M(1,1)，所以B點坐標是(2－x1,2－y1)．將A、B點坐標代入方程4x2＋9y2＝36，得4x＋9y－36＝0，①及4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，化簡為4x＋9y－16x1－36y1＋16＝0.②①式－②式得16x1＋36y1－52＝0，化簡為4x1＋9y1－13＝0.同理可推出4x2＋9y2－13＝0.因為A(x1，y1)與B(x2，y2)都滿足方程4x＋9y－13＝0，所以4x＋9y－13＝0即為所求．9．設x、y∈R，i、j分別為直角坐標平面內x軸、y軸正方向上的單位向量，a＝x i＋(y＋2)j，b＝x i＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.(1)求點M(x，y)的軌跡方程．（2）過點（0，3）作直線l與曲線C（為（1）問中點M的軌跡）交于A、B兩點，＝＋，是否存在這樣的直線l使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．解　(1)由|a|＋|b|＝8，得＋＝8，即點M(x，y)到兩定點F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)的距離和為定值8，且|F1F2|8.所以點M的軌跡是橢圓，其方程為＋＝1.(2)設l的斜率為k，l的方程為y＝kx＋3，代入橢圓方程得＋＝1，即(3k2＋4)x2＋18kx－21＝0.設A、B坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝－，＝＋，四邊形OAPB是平行四邊形．要使其是矩形只需OA⊥OB即可，即x1x2＋y1y2＝0.y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9，所以(1＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0，＋＋9＝0，解得k2＝，即k＝177。答案　A解析　因為線段PF1的中點在y軸上，所以PF2⊥x軸，F(xiàn)2為另一焦點，所以P點坐標為.M是PF1的中點，M的縱坐標是177。|PF2|＝24.2．一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內切，則動圓圓心的軌跡方程為(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1答案　A解析　兩定圓的圓心和半徑分別為O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9，設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設條件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.所以|MO1|＋|MO2|＝10.由橢圓的定義知：M在以OO2為焦點的橢圓上，且a＝5，c＝＝a2－c2＝25－9＝16.故動圓圓心的軌跡方程為＋＝.3．橢圓＋＝1上的一點M到左焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于(　　)A．2 B．4 C．8 D.答案　B解析　因為|MF1|＋|MF2|＝10，|ON|＝|MF2|，因為|MF2|＝8，所以|ON|＝4.4．橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是(　　)A．177。sin＝32－16.【反思感悟】　橢圓中，△MF1F2往往稱為焦點三角形．在△MF1F2中，|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，求解有關問題時，注意正、余弦定理的運用．　如圖△ABC中底邊BC＝12，其它兩邊AB和AC上中線的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點A的軌跡方程．解　以BC所在直線為x軸，BC邊中點為原點，建立如圖所示坐標系，則B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD為AB、AC邊上的中線，則|BD|＋|CE|＝30.由重心性質可知|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.∵B、C是兩個定點，G點到B、C距離和等于定值20，且2012，∴G點軌跡是橢圓，B、C是橢圓焦點．2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10，b2=a2c2=10262=64，故G點軌跡方程為 ,，去掉(10,0)、(10,0)兩點．又設G(x′，y′)，A(x，y)，則有 又∵∴ 故A點的軌跡方程為 ，去掉(30,0)、(30,0)兩點.課堂小結：，所謂標準位置，就是指橢圓的中心在坐標原點，橢圓的對稱軸為坐標軸橢圓的標準方程有兩種形式：（1）(ab0),焦點在x軸上，焦點坐標為(177。時，它和曲線2x2＋3y2＝6的公共點的個數為(　　)A．0