【正文】 OB面積取最大值．S＝|AB|max＝.、F2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點．(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積；(2)求PF1PF2的最大值．解：(1)設PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根據(jù)橢圓的定義得m＋n＝△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2cos∠F1PF2＝F1F，即m2＋n2－2mncos＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝.又∵S△F1PF2＝PF1PF2sin∠F1PF2＝mnsin，∴S△F1PF2＝＝.(2)∵a＝10，∴根據(jù)橢圓的定義得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2，∴PF1PF2≤2＝2＝100，當且僅當PF1＝PF2＝10時，等號成立．∴PF1PF2的最大值是100.講練學部分2．　橢圓及其標準方程(一)對點講練知識點一　橢圓定義的應用　平面內(nèi)一動點M到兩定點FF2距離之和為常數(shù)2a，則點M的軌跡為(　　)A．橢圓　　　　 　　　　B．圓C．無軌跡 D．橢圓或線段或無軌跡答案　D解析　當2a|F1F2|時是橢圓，當2a＝|F1F2|時，是線段，當2a|F1F2|時無軌跡，所以選D. 【反思感悟】　并不是動點到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡就一定是橢圓，只有當距離之和大于兩定點之間的距離時得到的軌跡才是橢圓．　命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a為常數(shù))；命題乙：點P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點，則命題甲是命題乙的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件答案　B知識點二　由橢圓方程求參數(shù)的范圍　若方程＋＝1表示橢圓，求k的取值范圍．解　由橢圓的標準方程知解得3k5，且k≠4.【反思感悟】　5－k≠k－3包括了焦點在x軸、y軸兩種情況的橢圓．　方程＋＝1表示焦點在y軸的橢圓，求m的范圍．解　由題意得3－2m2m－10，即　解得：m1.知識點三　求橢圓的標準方程　求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點，求它的標準方程．(2)焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點．(1)解　方法一　因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為＋＝1 (ab0)．由橢圓的定義知2a＝ ＋＝2，所以a＝.又因為c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求橢圓的標準方程為＋＝1.方法二　設橢圓的標準方程為＋＝1，因點在橢圓上，代入橢圓方程得：＋＝1，解得：a2＝10.∴所求方程為＋＝1.(2)解　方法一?、佼斀裹c在x軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有，解得所以橢圓的標準方程為＋＝1.②當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有解得因為ab，所以方程無解．綜上①②知，所求橢圓的標準方程為＋＝1.方法二　設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，根據(jù)題意得解得所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.【反思感悟】　求橢圓的標準方程通常利用待定系數(shù)法，如果不能確定焦點是在x軸上還是在y軸上，要分兩種情況求解，當然也可以按(2)中的方法二設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，這樣就可避免分情況討論了．　求焦點在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過點P(3，－2)的橢圓的標準方程．解　∵2c＝4，∴c＝2.由題意可設橢圓的標準方程為＋＝1.代入P(3，－2)，得＋＝1.a2＝1或a2＝36，∵ac，∴方程為＋＝1.課堂小結(jié)：|F1F2|時，軌跡才是橢圓；2a=| F1F2|時，軌跡是線段 F1F2；2a| F1F2|時沒有軌跡.、y軸上的依據(jù)是標準方程中的分母，焦點在分母大的對應軸上. ，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點的位置，那么有兩種方法來解決問題，一是分類討論全面考慮問題；二是設橢圓方程一般式，也就是：（1）如果明確焦點在x軸上，那么設所求的橢圓的方程為(ab0).(2)如果明確焦點在y軸上，那么設所求的橢圓的方程為(ab0).（3）如果中心在原點，但焦點的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么方程可以設為mx2 + ny2=1(m0,n0，m≠n)，進而求解.課時作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓的對稱軸為坐標軸，若長、短軸之和為18，焦距為6，那么橢圓的方程為(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1答案　D解析　????.2．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊BC上，則△ABC的周長為(　　)A．2 B．4 C．6 D．16答案　B解析　由題意知，三角形的周長為B點到橢圓兩焦點距離之和加上C點到橢圓兩焦點距離之和，因此周長為4.3．當直線y＝kx＋2的傾斜角大于45176。小于90176。時，它和曲線2x2＋3y2＝6的公共點的個數(shù)為(　　)A．0 B．1 C．2 D．不能確定答案　C解析　由題意知k1，(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝(12k)2－4(2＋3k2)6＝72k2－480.∴該直線與曲線公共點的個數(shù)為2.4．橢圓x2＋＝1的一個焦點是(0，)，那么k等于(　　)A．－6 B．6 C.＋1 D．1－答案　B解析　由題意a2＝k，b2＝1，∴k－1＝()2?k＝6.二、填空題5．△ABC中，已知B、C的坐標分別為(－3,0)和(3,0)，且△ABC的周長等于16，則頂點A的軌跡方程為________．答案?。?(y≠0)6．“神舟六號”載人航天飛船的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，設其近地點距地面n千米，遠地點距地面m千米，地球半徑為R，那么這個橢圓的焦距為________千米．答案　m－n解析　設a，c分別是橢圓的長半軸長和半焦距，則，則2c＝m－n.7．P是橢圓＋＝1上的點，F(xiàn)1和F2是該橢圓的焦點，則k＝|PF1||PF2|的最大值是__________；最小值是__________．答案　4　3解析　設|PF1|＝x，則k＝x(2a－x)因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4∴kmax＝4，kmin＝3.三、解答題8．△ABC的三邊a、b、c成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標分別是(－1,0)，(1,0)，求頂點B的軌跡方程．解　由題意得2b＝a＋c，即a＋c＝4.∴|BC|＋|BA|＝4|AC|＝2.∴B點的軌跡為橢圓∴方程為＋＝1.因B點是△ABC的頂點，不在x軸上，所以所求的軌跡方程為＋＝1 (x≠177。2)．9．已知經(jīng)過橢圓＋＝1的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點．(1)求△AF1B的周長；(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎？為什么？解　由已知，a＝5，b＝4，所以c＝＝3. (1)△AF1B的周長＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|.由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a，①|(zhì)BF1|＋|BF2|＝2a，②所以，△AF1B的周長為4a＝20.(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長不變化．這是因為①②兩式仍然成立，△AF1B的周長為20，這是定值．10．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點坐標分別是(－3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)兩個焦點坐標分別為(0,5)，(0，－5)，橢圓上一點P到兩焦點的距離和為26.解　(1)∵橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為＋＝1 (ab0)，∵2a＝＋＝10，2c＝6，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16，∴所求橢圓的方程為＋＝1.(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為＋＝1 (ab0)．∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5，∴b2＝a2－c2＝144，∴所求橢圓的方程為＋＝1.2．　橢圓及其標準方程(二)對點講練知識點一　與橢圓有關(guān)的軌跡方程　已知點M在橢圓＋＝1上，MP′垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為P′，并且M為線段PP′的中點，求P點的軌跡方程．分析　因點P與點M的坐標間存在一定關(guān)系，故可用P點坐標表示M點坐標，并代入M點坐標所滿足的方程，整理即得所求軌跡方程．解　設P點的坐標為(x，y)，M點的坐標為(x0，y0)．∵點M在橢圓＋＝1上，∴＋＝1.∵M是線段PP′的中點，∴　把，代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.∴P點的軌跡方程為x2＋y2＝36.【反思感悟】　本例中動點P與曲線上的點M稱為相關(guān)點(有關(guān)系的兩點)，這種求軌跡方程的方法稱為相關(guān)點求軌跡方程法．其基本步驟就是先求出M點與P點的坐標關(guān)系式并用P點的坐標表示M點坐標，然后代入M點坐標所滿足的方程，整理后即得所求．　如圖所示在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？解　設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則x=x0，y=.因為點P(x0，y0)在圓x2+y2=4上，所以x02＋4y02＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.所以點M的軌跡是一個橢圓．知識點二　應用橢圓定義求軌跡方程　已知圓B：(x＋1)2＋y2＝16及點A(1,0)，C為圓B上任意一點，求AC的垂直平分線l與線段CB的交點P的軌跡方程．分析　由圖可知點P到B點和A點的距離的和為定值，可借助橢圓定義來求．解　如圖所示，連結(jié)AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|=|CP|，∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，∴P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴點P的軌跡方程為＋＝1.【反思感悟】　求動點的軌跡方程時