【正文】 OB面積取最大值．S＝|AB|max＝.、F2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)．(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積；(2)求PF1PF2的最大值．解：(1)設(shè)PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根據(jù)橢圓的定義得m＋n＝△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2cos∠F1PF2＝F1F，即m2＋n2－2mncos＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝.又∵S△F1PF2＝PF1PF2sin∠F1PF2＝mnsin，∴S△F1PF2＝＝.(2)∵a＝10，∴根據(jù)橢圓的定義得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2，∴PF1PF2≤2＝2＝100，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2＝10時(shí)，等號(hào)成立．∴PF1PF2的最大值是100.講練學(xué)部分2．　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一　橢圓定義的應(yīng)用　平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)FF2距離之和為常數(shù)2a，則點(diǎn)M的軌跡為(　　)A．橢圓　　　　 　　　　B．圓C．無(wú)軌跡 D．橢圓或線段或無(wú)軌跡答案　D解析　當(dāng)2a|F1F2|時(shí)是橢圓，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，是線段，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡，所以選D. 【反思感悟】　并不是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓，只有當(dāng)距離之和大于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)得到的軌跡才是橢圓．　命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a為常數(shù))；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點(diǎn)，則命題甲是命題乙的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件答案　B知識(shí)點(diǎn)二　由橢圓方程求參數(shù)的范圍　若方程＋＝1表示橢圓，求k的取值范圍．解　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知解得3k5，且k≠4.【反思感悟】　5－k≠k－3包括了焦點(diǎn)在x軸、y軸兩種情況的橢圓．　方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，求m的范圍．解　由題意得3－2m2m－10，即　解得：m1.知識(shí)點(diǎn)三　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(，－2)和B(－2，1)兩點(diǎn)．(1)解　方法一　因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (ab0)．由橢圓的定義知2a＝ ＋＝2，所以a＝.又因?yàn)閏＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，因點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程得：＋＝1，解得：a2＝10.∴所求方程為＋＝1.(2)解　方法一?、佼?dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有解得因?yàn)閍b，所以方程無(wú)解．綜上①②知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，根據(jù)題意得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.【反思感悟】　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常利用待定系數(shù)法，如果不能確定焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，要分兩種情況求解，當(dāng)然也可以按(2)中的方法二設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，這樣就可避免分情況討論了．　求焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解　∵2c＝4，∴c＝2.由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.代入P(3，－2)，得＋＝1.a2＝1或a2＝36，∵ac，∴方程為＋＝1.課堂小結(jié)：|F1F2|時(shí)，軌跡才是橢圓；2a=| F1F2|時(shí)，軌跡是線段 F1F2；2a| F1F2|時(shí)沒(méi)有軌跡.、y軸上的依據(jù)是標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母，焦點(diǎn)在分母大的對(duì)應(yīng)軸上. ，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，那么有兩種方法來(lái)解決問(wèn)題，一是分類討論全面考慮問(wèn)題；二是設(shè)橢圓方程一般式，也就是：（1）如果明確焦點(diǎn)在x軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(ab0).(2)如果明確焦點(diǎn)在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(ab0).（3）如果中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么方程可以設(shè)為mx2 + ny2=1(m0,n0，m≠n)，進(jìn)而求解.課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，若長(zhǎng)、短軸之和為18，焦距為6，那么橢圓的方程為(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1答案　D解析　????.2．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊BC上，則△ABC的周長(zhǎng)為(　　)A．2 B．4 C．6 D．16答案　B解析　由題意知，三角形的周長(zhǎng)為B點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離之和加上C點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離之和，因此周長(zhǎng)為4.3．當(dāng)直線y＝kx＋2的傾斜角大于45176。小于90176。時(shí)，它和曲線2x2＋3y2＝6的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)A．0 B．1 C．2 D．不能確定答案　C解析　由題意知k1，(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝(12k)2－4(2＋3k2)6＝72k2－480.∴該直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.4．橢圓x2＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，)，那么k等于(　　)A．－6 B．6 C.＋1 D．1－答案　B解析　由題意a2＝k，b2＝1，∴k－1＝()2?k＝6.二、填空題5．△ABC中，已知B、C的坐標(biāo)分別為(－3,0)和(3,0)，且△ABC的周長(zhǎng)等于16，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_______．答案?。?(y≠0)6．“神舟六號(hào)”載人航天飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其近地點(diǎn)距地面n千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面m千米，地球半徑為R，那么這個(gè)橢圓的焦距為_(kāi)_______千米．答案　m－n解析　設(shè)a，c分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距，則，則2c＝m－n.7．P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是該橢圓的焦點(diǎn)，則k＝|PF1||PF2|的最大值是__________；最小值是__________．答案　4　3解析　設(shè)|PF1|＝x，則k＝x(2a－x)因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4∴kmax＝4，kmin＝3.三、解答題8．△ABC的三邊a、b、c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，求頂點(diǎn)B的軌跡方程．解　由題意得2b＝a＋c，即a＋c＝4.∴|BC|＋|BA|＝4|AC|＝2.∴B點(diǎn)的軌跡為橢圓∴方程為＋＝1.因B點(diǎn)是△ABC的頂點(diǎn)，不在x軸上，所以所求的軌跡方程為＋＝1 (x≠177。2)．9．已知經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)．(1)求△AF1B的周長(zhǎng)；(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)有變化嗎？為什么？解　由已知，a＝5，b＝4，所以c＝＝3. (1)△AF1B的周長(zhǎng)＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|.由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a，①|(zhì)BF1|＋|BF2|＝2a，②所以，△AF1B的周長(zhǎng)為4a＝20.(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)不變化．這是因?yàn)棰佗趦墒饺匀怀闪?，△AF1B的周長(zhǎng)為20，這是定值．10．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,5)，(0，－5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26.解　(1)∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (ab0)，∵2a＝＋＝10，2c＝6，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16，∴所求橢圓的方程為＋＝1.(2)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (ab0)．∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5，∴b2＝a2－c2＝144，∴所求橢圓的方程為＋＝1.2．　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一　與橢圓有關(guān)的軌跡方程　已知點(diǎn)M在橢圓＋＝1上，MP′垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂足為P′，并且M為線段PP′的中點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程．分析　因點(diǎn)P與點(diǎn)M的坐標(biāo)間存在一定關(guān)系，故可用P點(diǎn)坐標(biāo)表示M點(diǎn)坐標(biāo)，并代入M點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，整理即得所求軌跡方程．解　設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)．∵點(diǎn)M在橢圓＋＝1上，∴＋＝1.∵M(jìn)是線段PP′的中點(diǎn)，∴　把，代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝36.【反思感悟】　本例中動(dòng)點(diǎn)P與曲線上的點(diǎn)M稱為相關(guān)點(diǎn)(有關(guān)系的兩點(diǎn))，這種求軌跡方程的方法稱為相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程法．其基本步驟就是先求出M點(diǎn)與P點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式并用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示M點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入M點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，整理后即得所求．　如圖所示在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？解　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x=x0，y=.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=4上，所以x02＋4y02＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓．知識(shí)點(diǎn)二　應(yīng)用橢圓定義求軌跡方程　已知圓B：(x＋1)2＋y2＝16及點(diǎn)A(1,0)，C為圓B上任意一點(diǎn)，求AC的垂直平分線l與線段CB的交點(diǎn)P的軌跡方程．分析　由圖可知點(diǎn)P到B點(diǎn)和A點(diǎn)的距離的和為定值，可借助橢圓定義來(lái)求．解　如圖所示，連結(jié)AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|=|CP|，∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，∴P點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.【反思感悟】　求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)