【正文】 ．橢圓＋＝1 (ab0)與過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率e＝，則橢圓方程為_(kāi)_______________．答案　＋2y2＝1解析　過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程為＋y＝1，∵由題意得有唯一解，即x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解，∴Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0 (ab≠0)，故a2＋4b2－4＝0，∵e＝，即＝，∴a2＝4b2，從而得a2＝2，b2＝.故所求的橢圓方程為＋2y2＝1.7．有一塊長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為8的橢圓形玻璃鏡子，欲從此鏡中劃出一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為_(kāi)_______．答案　40解析　設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為2x、2y，則點(diǎn)(x，y)在橢圓上，即＋＝1，因＋≥2，∴xy≤10，因此S＝4xy≤40，∴最大面積為40.三、解答題8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解　(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－20，解得k－或k.即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③而A(，0)，B(0,1)， = (－，1)所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝.由(1)知k－或k，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k.9．如圖所示，從橢圓＋＝1 (ab0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；(3)當(dāng)QF2⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F1PQ的面積為20，求此時(shí)橢圓的方程．解　(1)因?yàn)镸F1⊥x軸，所以xM＝－c，代入＋＝1，得yM＝，所以kOM＝＝－.因?yàn)閗AB＝－，OM∥AB，所以－＝－，即b＝c.從而a＝c，故e＝＝.(2)設(shè)|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，則m＋n＝2a，|F1F2|＝△F1QF2中，由余弦定理，得cosθ＝＝＝－1≥－1＝0.當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，上式等號(hào)成立，因?yàn)?≤cosθ≤1，故θ∈.(3)因?yàn)閎＝c，a＝c，所以橢圓方程為＋＝1.因?yàn)镻Q⊥AB，kAB＝－＝－，所以kPQ＝.所以直線PQ：y＝(x－c). 代入橢圓方程得5x2－8cx＋2c2＝0.由弦長(zhǎng)公式得|PQ|＝c.又點(diǎn)F1到直線PQ的距離為d＝c，所以S△F1PQ＝|PQ|n7)C．(177。而(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1＝b2，即△F1PF2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)．【反思感悟】　橢圓的離心率是橢圓固有的性質(zhì)，與橢圓的位置無(wú)關(guān)．求橢圓的離心率e，即求比值，而在橢圓方程中a2＝b2＋c2，所以求離心率只需尋求a，b，c三者或者其中兩者之間的關(guān)系式．注意橢圓離心率0e1.　已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1A，PO∥AB(O為橢圓中心)時(shí)，求橢圓的離心率．解　方法一　由已知可設(shè)橢圓的方程＋＝1 (ab0)，c2＝a2－b2，F(xiàn)1(－c,0)，因?yàn)镻F1⊥F1A,所以P ( c , )即P (c , ),∵AB∥PO,∴kAB = kOP,∴b=c,∴a2 = 2c2,∴e = = 2,方法二 由方法一知P (c , ),又△PF1O∽△BOA,∴ = , ∴ = ， 即b=c,∴a2=2c2, ∴e =.= ，課堂小結(jié)：，在求解一些存在性和判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用.，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用.，其取值范圍是0e，橢圓越扁；離心率越小，一般并不直接求出a和c的值去計(jì)算，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c,a,b的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或范圍.課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓長(zhǎng)軸上兩端點(diǎn)為A1(－3,0)，A2(3,0)，兩焦點(diǎn)恰好把長(zhǎng)軸三等分，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A.＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1 D.＋y2＝1答案　A解析　由題意知a＝3,2c＝6＝2，∴c＝1，∴b＝＝＝2，故橢圓的方程為＋＝1.2．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值是(　　)A. B. C．2 D．4答案　A解析　由題意可得2＝22，解得m＝.3．P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓＋＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為c，則|PF1|3,0)．7．點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____________________．答案　x＝－3 (y≠0)解析　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知，得直線AM的斜率kAM＝(x≠－1)；直線BM的斜率kBM＝(x≠1)．由題意，得＝2，所以，＝2(x≠177。小于90176。橢圓典例剖析知識(shí)點(diǎn)一　橢圓定義的應(yīng)用　方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是________．解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以16＋m25－m，即m，又因?yàn)閎2＝25－m0，故m25，所以m的取值范圍為m：m25 知識(shí)點(diǎn)二　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)．(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(，)，B(0，－)．(1)解　方法一　橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．由橢圓定義知：2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，因?yàn)閏＝4，所以a2－b2＝c2＝(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)方法一?、佼?dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得又因?yàn)閍b，所以該方程組無(wú)解．②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．依題意有解得所以方程為＋＝1.綜上知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依題意有解得所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.練習(xí)：過(guò)點(diǎn)(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析：因?yàn)閏2＝9－4＝5，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝＋＝：＋＝1知識(shí)點(diǎn)三　根據(jù)方程研究幾何性質(zhì)　求橢圓25x2＋16y2＝400的長(zhǎng)軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．解　將方程變形為＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝＝10,2b＝8，離心率e＝＝，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)，(0,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知識(shí)點(diǎn)四　根據(jù)幾何性質(zhì)求方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，離心率是.(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.解　(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.(2)設(shè)橢圓方程為 (ab0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求橢圓的方程為,知識(shí)點(diǎn)五　求橢圓的離心率　如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的，求橢圓的離心率．解　方法一　設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a，b， (c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(c， b)，則△MF1F2為直角三角形．在Rt△M F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知識(shí)點(diǎn)六　直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題　當(dāng)m取何值時(shí)，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離．解　由題意，得①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化簡(jiǎn)，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14 400.當(dāng)Δ＝0時(shí)，得m＝177。PF2的最大值是100.講練學(xué)部分2．　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一　橢圓定義的應(yīng)用　平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)FF2距離之和為常數(shù)2a，則點(diǎn)M的軌跡為(　　)A．橢圓　　　　 　　　　B．圓C．無(wú)軌跡 D．橢圓或線段或無(wú)軌跡答案　D解析　當(dāng)2a|F1F2|時(shí)是橢圓，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，是線段，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡，所以選D. 【反思感悟】　并不是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓，只有當(dāng)距離之和大于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)得到的軌跡才是橢圓．　命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a為常數(shù))；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點(diǎn)，則命題甲是命題乙的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件答案　B知識(shí)點(diǎn)二　由橢圓方程求參數(shù)的范圍　若方程＋＝1表示橢圓，求k的取值范圍．解　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知解得3k5，且k≠4.【反思感悟】　5－k≠k－3包括了焦點(diǎn)在x軸、y軸兩種情況的