【正文】 ＝0，Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14 400.當(dāng)Δ＝0時(shí)，得m＝177。PF2小于90176。|PF2|＝142－100＝96.又因PF1⊥PF2，所以S＝|PF1|3,0)．7．點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡方程為______________________．答案　x＝－3 (y≠0)解析　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知，得直線AM的斜率kAM＝(x≠－1)；直線BM的斜率kBM＝(x≠1)．由題意，得＝2，所以，＝2(x≠177。=0∴AF2⊥F1F2，因?yàn)闄E圓的離心率e＝＝，則b2＝a2，設(shè)A(x，y)(x0，y0)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得,∴∵△AOF2的面積為2，∴S△AOF2=xy=2，即 c＝b2，即△F1PF2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)．【反思感悟】　橢圓的離心率是橢圓固有的性質(zhì)，與橢圓的位置無(wú)關(guān)．求橢圓的離心率e，即求比值，而在橢圓方程中a2＝b2＋c2，所以求離心率只需尋求a，b，c三者或者其中兩者之間的關(guān)系式．注意橢圓離心率0e1.　已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1A，PO∥AB(O為橢圓中心)時(shí)，求橢圓的離心率．解　方法一　由已知可設(shè)橢圓的方程＋＝1 (ab0)，c2＝a2－b2，F(xiàn)1(－c,0)，因?yàn)镻F1⊥F1A,所以P ( c , )即P (c , ),∵AB∥PO,∴kAB = kOP,∴b=c,∴a2 = 2c2,∴e = = 2,方法二 由方法一知P (c , ),又△PF1O∽△BOA,∴ = , ∴ = ， 即b=c,∴a2=2c2, ∴e =.= ，課堂小結(jié)：，在求解一些存在性和判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用.，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用.，其取值范圍是0e，橢圓越扁；離心率越小，一般并不直接求出a和c的值去計(jì)算，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c,a,b的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或范圍.課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓長(zhǎng)軸上兩端點(diǎn)為A1(－3,0)，A2(3,0)，兩焦點(diǎn)恰好把長(zhǎng)軸三等分，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A.＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1 D.＋y2＝1答案　A解析　由題意知a＝3,2c＝6＝2，∴c＝1，∴b＝＝＝2，故橢圓的方程為＋＝1.2．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值是(　　)A. B. C．2 D．4答案　A解析　由題意可得2＝22，解得m＝.3．P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓＋＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為c，則|PF1|kPF2＝－1，即而(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1|PF2|取得最大值a2.當(dāng)x＝a＋c或x＝a－c時(shí)，|PF1|7)C．(177。（2）若直線l的傾斜角為60176。n∴m = .同理，在△QF′F中，設(shè)|QF|=n，則|QF|=2 n.也由余弦定理得(2 n)2=22+n22()2＝4c2∴e2＝＝，∴e＝.6．橢圓＋＝1 (ab0)與過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率e＝，則橢圓方程為________________．答案?。?y2＝1解析　過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程為＋y＝1，∵由題意得有唯一解，即x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解，∴Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0 (ab≠0)，故a2＋4b2－4＝0，∵e＝，即＝，∴a2＝4b2，從而得a2＝2，b2＝.故所求的橢圓方程為＋2y2＝1.7．有一塊長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為8的橢圓形玻璃鏡子，欲從此鏡中劃出一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為________．答案　40解析　設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為2x、2y，則點(diǎn)(x，y)在橢圓上，即＋＝1，因＋≥2，∴xy≤10，因此S＝4xy≤40，∴最大面積為40.三、解答題8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解　(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－20，解得k－或k.即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③而A(，0)，B(0,1)， = (－，1)所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝.由(1)知k－或k，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k.9．如圖所示，從橢圓＋＝1 (ab0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；(3)當(dāng)QF2⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F1PQ的面積為20，求此時(shí)橢圓的方程．解　(1)因?yàn)镸F1⊥x軸，所以xM＝－c，代入＋＝1，得yM＝，所以kOM＝＝－.因?yàn)閗AB＝－，OM∥AB，所以－＝－，即b＝c.從而a＝c，故e＝＝.(2)設(shè)|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，則m＋n＝2a，|F1F2|＝△F1QF2中，由余弦定理，得cosθ＝＝＝－1≥－1＝0.當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，上式等號(hào)成立，因?yàn)?≤cosθ≤1，故θ∈.(3)因?yàn)閎＝c，a＝c，所以橢圓方程為＋＝1.因?yàn)镻Q⊥AB，kAB＝－＝－，所以kPQ＝.所以直線PQ：y＝(x－c). 代入橢圓方程得5x2－8cx＋2c2＝0.由弦長(zhǎng)公式得|PQ|＝c.又點(diǎn)F1到直線PQ的距離為d＝c，所以S△F1PQ＝|PQ|2)，這就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．(2)依題意，可設(shè)M(x，y)、E(x＋m，y＋n)、F(x－m，y－n)，則有，兩式相減，得＋＝0?kEF＝＝－＝，由此得點(diǎn)M的軌跡方程為6x2＋8y2－3x＝0(x≠0)．設(shè)直線MA：x＝my＋2(其中m＝)，則?(6m2＋8)y2＋21my＋18＝0，故由Δ＝(21m)2－72(6m2＋8)≥0?|m|≥8，即||≥8，解之得k的取值范圍是.【反思感悟】　本題解法不唯一，可以設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立曲線C，表示出EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再表示出MA的斜率k，利用函數(shù)關(guān)系式求k的范圍，這樣加大了運(yùn)算量，本題的解法雖不容易想．但運(yùn)算量較小．　點(diǎn)A、B分別是橢圓＋＝1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．解　(1)由已知可得點(diǎn)A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，由已知得則2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.由于y0，只能x＝，于是y＝. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是.(2)直線AP的方程是x－y＋6＝0，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤m≤6，∴當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值 .∴橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值為.課堂小結(jié)：：（1）求直線與橢圓的交點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)，此種方法僅當(dāng)直線方程和橢圓方程簡(jiǎn)單且易得交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)可以使用，一般情況下并不采用此法.（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，再求弦長(zhǎng)，不必求直線與橢圓的交點(diǎn)，這種方法是求弦長(zhǎng)常采用的方法.，通常采用“點(diǎn)差法”求解，通過(guò)“點(diǎn)差”易得弦所在直線斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系.課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)A．(177。|PF2|＝x(2a－x)，再借助二次函數(shù)的性質(zhì)研究最值．解　設(shè)|PF1|＝x，由橢圓的定義知，|PF2|＝2a－x.∴|PF1|x1 ＝ 0，∴M點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|OP|c恒成立，由橢圓性質(zhì)知|OP|≥b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，∴bc，∴c2b2＝a2－c2，∴a22c2，∴2，∴e＝.又∵0e1，∴0e.5．設(shè)0k9，則橢圓＋＝1與＋＝1具有相同的(　　)A．頂點(diǎn) B．長(zhǎng)軸與短軸C．離心率 D．焦距答案　D解析　由0k9，知09－k25－k，橢圓＋＝1焦點(diǎn)在y軸上，＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，焦距也為8.二、填空題6．過(guò)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為______．答案　解析　橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)F(1,0)且斜率為2的直線方程為y＝2(x－1)，即y＝2x－2.代入4x2＋5y2＝20得4x2＋54(x2－2x＋1)＝20∴x1＝0，x2＝.∴y1＝－2，y2＝.∴A(0，－2)，B.∴|AB|＝＝.又點(diǎn)O(0,0)到y(tǒng)＝2x－2的距離為d＝.∴S△OAB＝＝.7．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－，若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e＝________.答案　解析　如圖所示，設(shè)AB=BC=x，由cosB= 及余弦定理得AC2=AB2+BC2 2ABcos∠F1PF2＝|F1F2|2，即cos60176。0)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(－1,0)，(0，)(0，－)．知識(shí)點(diǎn)二　由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓方程例2. 已知FF2是橢圓(