【正文】 值為b2.【反思感悟】　求橢圓中某一量的最值，關(guān)鍵是通過橢圓的幾何性質(zhì)建立起函數(shù)關(guān)系，使問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．　 如圖所示，已知橢圓x2+8y2=8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x y+4=0的距離最小，并求出最小值．解　設(shè)與直線x y+4=0平行且與橢圓相切的直線為x y+a=0.由得：9y2 2ay + a2 8=0.Δ=4a2 36(a2 8)=0，解得a=3或a= 3，與直線l距離較近的直線方程為：x y+3=0，∴dmin = = .此時，由，得，.即P (. , )∴當P點坐標為(. , )時，到直線l的距離最小為..知識點三　與橢圓有關(guān)的綜合問題　在平面直角坐標系中，已知點A(2,0)、B(－2,0)，P是平面內(nèi)一動點，直線PA、PB的斜率之積為－.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點(，0)作直線l與軌跡C交于E、F兩點，線段EF的中點為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．解　(1)依題意，有kPA2)，這就是動點P的軌跡C的方程．(2)依題意，可設(shè)M(x，y)、E(x＋m，y＋n)、F(x－m，y－n)，則有，兩式相減，得＋＝0?kEF＝＝－＝，由此得點M的軌跡方程為6x2＋8y2－3x＝0(x≠0)．設(shè)直線MA：x＝my＋2(其中m＝)，則?(6m2＋8)y2＋21my＋18＝0，故由Δ＝(21m)2－72(6m2＋8)≥0?|m|≥8，即||≥8，解之得k的取值范圍是.【反思感悟】　本題解法不唯一，可以設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立曲線C，表示出EF的中點M的坐標，再表示出MA的斜率k，利用函數(shù)關(guān)系式求k的范圍，這樣加大了運算量，本題的解法雖不容易想．但運算量較?。↑cA、B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF. (1)求點P的坐標；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．解　(1)由已知可得點A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，由已知得則2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.由于y0，只能x＝，于是y＝. ∴點P的坐標是.(2)直線AP的方程是x－y＋6＝0，設(shè)點M的坐標為(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，橢圓上的點(x，y)到點M的距離d有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤m≤6，∴當x＝時，d取得最小值 .∴橢圓上的點到點M的距離的最小值為.課堂小結(jié)：：（1）求直線與橢圓的交點，然后利用兩點間距離公式求弦長，此種方法僅當直線方程和橢圓方程簡單且易得交點坐標時可以使用，一般情況下并不采用此法.（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后運用根與系數(shù)的關(guān)系，再求弦長，不必求直線與橢圓的交點，這種方法是求弦長常采用的方法.，通常采用“點差法”求解，通過“點差”易得弦所在直線斜率與弦中點坐標間的關(guān)系.課時作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓＋＝1的焦點坐標是(　　)A．(177。)答案　D解析　因為m＋5m－2，所以橢圓的焦點在y軸上，方程化為標準形式為：＋＝1；其中a2＝m＋5，b2＝m－2，∴c2＝a2－b2＝(m＋5)－(m－2)＝7，解得：c＝；所以橢圓的焦點坐標是(0，177。()2＝4c2∴e2＝＝，∴e＝.6．橢圓＋＝1 (ab0)與過點A(2,0)，B(0,1)的直線有且只有一個公共點，且橢圓的離心率e＝，則橢圓方程為________________．答案?。?y2＝1解析　過點A、B的直線方程為＋y＝1，∵由題意得有唯一解，即x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解，∴Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0 (ab≠0)，故a2＋4b2－4＝0，∵e＝，即＝，∴a2＝4b2，從而得a2＝2，b2＝.故所求的橢圓方程為＋2y2＝1.7．有一塊長軸長為10，短軸長為8的橢圓形玻璃鏡子，欲從此鏡中劃出一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為________．答案　40解析　設(shè)矩形的長、寬分別為2x、2y，則點(x，y)在橢圓上，即＋＝1，因＋≥2，∴xy≤10，因此S＝4xy≤40，∴最大面積為40.三、解答題8．在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．解　(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0①直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ＝8k2－4＝4k2－20，解得k－或k.即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③而A(，0)，B(0,1)， = (－，1)所以＋與共線等價于x1＋x2＝－(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝.由(1)知k－或k，故沒有符合題意的常數(shù)k.9．如圖所示，從橢圓＋＝1 (ab0)上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)2是右焦點，求∠F1QF2的取值范圍；(3)當QF2⊥AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若△F1PQ的面積為20，求此時橢圓的方程．解　(1)因為MF1⊥x軸，所以xM＝－c，代入＋＝1，得yM＝，所以kOM＝＝－.因為kAB＝－，OM∥AB，所以－＝－，即b＝c.從而a＝c，故e＝＝.(2)設(shè)|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，則m＋n＝2a，|F1F2|＝△F1QF2中，由余弦定理，得cosθ＝＝＝－1≥－1＝0.當且僅當m＝n時，上式等號成立，因為0≤cosθ≤1，故θ∈.(3)因為b＝c，a＝c，所以橢圓方程為＋＝1.因為PQ⊥AB，kAB＝－＝－，所以kPQ＝.所以直線PQ：y＝(x－c). 代入橢圓方程得5x2－8cx＋2c2＝0.由弦長公式得|PQ|＝c.又點F1到直線PQ的距離為d＝c，所以S△F1PQ＝|PQ||F′F|=2，設(shè)|PF|=m，則|PF|= 2 m ，由余弦定理得(2 m)2=22+m22∴m = .同理，在△QF′F中，設(shè)|QF|=n，則|QF|=2 n.也由余弦定理得(2 n)2=22+n22∴n=，于是，,.37。nm（2）若直線l的傾斜角為60176。 = 0，且tan∠PF1F2＝，則橢圓的離心率為________．答案　解析 由7)C．(177。＝－(x≠177。|PF2|取得最大值a2.當x＝a＋c或x＝a－c時，|PF1|又x1＋x2＝2＝1，y1＋y2＝2＝1，所以＝－，即直線的斜率為－，所以直線方程為：y－＝－(x－)，即2x＋4y－3＝0.【反思感悟】　本題是典型的中點弦問題，故可用“點差法”求解，基本步驟是：設(shè)點、代點、作差得到弦所在直線斜率與弦中點坐標間的關(guān)系．　在橢圓＋＝1內(nèi)，通過M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為________．答案　x＋4y－5＝0解析　設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由①－②，得＋＝0，因所以＝－，所求直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0.知識點二　橢圓中的最值問題　已知橢圓＋＝1(ab0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的任意一點，求|PF1|而(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1.當k＝177。kPF2＝－1，即|PF2|最大值與最小值之差為a2－b2＝c2.4. 已知F＝b2，即△F1PF2的面積只與短軸長有關(guān)．【反思感悟】　橢圓的離心率是橢圓固有的性質(zhì)，與橢圓的位置無關(guān)．求橢圓的離心率e，即求比值，而在橢圓方程中a2＝b2＋c2，所以求離心率只需尋求a，b，c三者或者其中兩者之間的關(guān)系式．注意橢圓離心率0e1.　已知F1為橢圓的左焦點，A，B分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF1⊥F1A，PO∥AB(O為橢圓中心)時，求橢圓的離心率．解　方法一　由已知可設(shè)橢圓的方程＋＝1 (ab0)，c2＝a2－b2，F(xiàn)1(－c,0)，因為PF1⊥F1A,所以P ( c , )即P (c , ),∵AB∥PO,∴kAB = kOP,∴b=c,∴a2 = 2c2,∴e = = 2,方法二 由方法一知P (c , ),又△PF1O∽△BOA,∴ = , ∴ = ， 即b=c,∴a2=2c2, ∴e =.= ，課堂小結(jié)：，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應(yīng)用.，往往能起到化繁為簡的作用.，其取值范圍是0e，橢圓越扁；離心率越小，一般并不直接求出a和c的值去計算，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c,a,b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.課時作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓長軸上兩端點為A1(－3,0)，A2(3,0)，兩焦點恰好把長軸三等分，則該橢圓的標準方程是(　　)A.＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1 D.＋y2＝1答案　A解析　由題意知a＝3,2c＝6＝2，∴c＝1，∴b＝＝＝2，故橢圓的方程為＋＝1.2．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值是(　　)A. B. C．2 D．4答案　A解析　由題意可得2＝22，解得m＝.3．P是長軸在x軸上的橢圓＋＝1上的點，F(xiàn)F2分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為c，則|PF1|.(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．解　設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，(1)在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝，即cos60176。=0∴AF2⊥F1F2，因為橢圓的離心率e＝＝，則b2＝a2，設(shè)A(x，y)(x0，y0)，由AF2⊥