【正文】 F2|＝2a－x，于是有|PF1||PF2|＝x(2a－x)，再借助二次函數(shù)的性質(zhì)研究最值．解　設(shè)|PF1|＝x，由橢圓的定義知，|PF2|＝2a－x.∴|PF1||PF2|＝x(2a－x)＝－(x－a)2＋a2.又由橢圓的幾何性質(zhì)可知，a－c≤x≤a＋c.∴當(dāng)x＝a時(shí)，|PF1||PF2|取得最大值a2.當(dāng)x＝a＋c或x＝a－c時(shí)，|PF1||PF2|取得最小值a2－c2＝b2.所以|PF1||PF2|的最大值為a2，最小值為b2.【反思感悟】　求橢圓中某一量的最值，關(guān)鍵是通過橢圓的幾何性質(zhì)建立起函數(shù)關(guān)系，使問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．　 如圖所示，已知橢圓x2+8y2=8，在橢圓上求一點(diǎn)P，使P到直線l：x y+4=0的距離最小，并求出最小值．解　設(shè)與直線x y+4=0平行且與橢圓相切的直線為x y+a=0.由得：9y2 2ay + a2 8=0.Δ=4a2 36(a2 8)=0，解得a=3或a= 3，與直線l距離較近的直線方程為：x y+3=0，∴dmin = = .此時(shí)，由，得，.即P (. , )∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(. , )時(shí)，到直線l的距離最小為..知識(shí)點(diǎn)三　與橢圓有關(guān)的綜合問題　在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0)、B(－2,0)，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB的斜率之積為－.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)(，0)作直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．解　(1)依題意，有kPAkPB＝＝－(x≠177。2)，化簡得＋＝1(x≠177。2)，這就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．(2)依題意，可設(shè)M(x，y)、E(x＋m，y＋n)、F(x－m，y－n)，則有，兩式相減，得＋＝0?kEF＝＝－＝，由此得點(diǎn)M的軌跡方程為6x2＋8y2－3x＝0(x≠0)．設(shè)直線MA：x＝my＋2(其中m＝)，則?(6m2＋8)y2＋21my＋18＝0，故由Δ＝(21m)2－72(6m2＋8)≥0?|m|≥8，即||≥8，解之得k的取值范圍是.【反思感悟】　本題解法不唯一，可以設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立曲線C，表示出EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再表示出MA的斜率k，利用函數(shù)關(guān)系式求k的范圍，這樣加大了運(yùn)算量，本題的解法雖不容易想．但運(yùn)算量較?。↑c(diǎn)A、B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．解　(1)由已知可得點(diǎn)A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，由已知得則2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.由于y0，只能x＝，于是y＝. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是.(2)直線AP的方程是x－y＋6＝0，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤m≤6，∴當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值 .∴橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值為.課堂小結(jié)：：（1）求直線與橢圓的交點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長，此種方法僅當(dāng)直線方程和橢圓方程簡單且易得交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)可以使用，一般情況下并不采用此法.（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，再求弦長，不必求直線與橢圓的交點(diǎn)，這種方法是求弦長常采用的方法.，通常采用“點(diǎn)差法”求解，通過“點(diǎn)差”易得弦所在直線斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系.課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)A．(177。7,0) B．(0，177。7)C．(177。，0) D．(0，177。)答案　D解析　因?yàn)閙＋5m－2，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：＋＝1；其中a2＝m＋5，b2＝m－2，∴c2＝a2－b2＝(m＋5)－(m－2)＝7，解得：c＝；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，177。)．2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)答案　D解析　因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在y軸上，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1，其中a2＝，b2＝2，∴20，解得：0k1.3．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,1)，則m的值為(　　)A．1 B.C．－2或1 D．－2或1或答案　C解析　由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,1)可知：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝1；所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1，其中a2＝3－m，b2＝m2，∴c2＝a2－b2＝3－m－m2，由c2＝3－m－m2＝1，可解得：m＝－2或1.4．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍答案　A解析　設(shè)PF1的中點(diǎn)為A，因A在y軸上，所以O(shè)A為△F1PF2的中位線，即有|PF2|＝2|AO|，因F2(3,0)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，即|PF2|＝.∴|PF1|＝＝7＝7|PF2|.二、填空題5. 已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓 (ab0)上的點(diǎn)，若 = 0，且tan∠PF1F2＝，則橢圓的離心率為________．答案　解析 由 = 0，知PF1⊥PF2，△PF1F2是Rt△.tan∠PF1F2＝＝，得|PF1|＝2|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，5|PF2|2＝(2c)2，∴5()2＝4c2∴e2＝＝，∴e＝.6．橢圓＋＝1 (ab0)與過點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率e＝，則橢圓方程為________________．答案　＋2y2＝1解析　過點(diǎn)A、B的直線方程為＋y＝1，∵由題意得有唯一解，即x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解，∴Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0 (ab≠0)，故a2＋4b2－4＝0，∵e＝，即＝，∴a2＝4b2，從而得a2＝2，b2＝.故所求的橢圓方程為＋2y2＝1.7．有一塊長軸長為10，短軸長為8的橢圓形玻璃鏡子，欲從此鏡中劃出一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為________．答案　40解析　設(shè)矩形的長、寬分別為2x、2y，則點(diǎn)(x，y)在橢圓上，即＋＝1，因＋≥2，∴xy≤10，因此S＝4xy≤40，∴最大面積為40.三、解答題8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．解　(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－20，解得k－或k.即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③而A(，0)，B(0,1)， = (－，1)所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝.由(1)知k－或k，故沒有符合題意的常數(shù)k.9．如圖所示，從橢圓＋＝1 (ab0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1，且它的長軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；(3)當(dāng)QF2⊥AB時(shí)，延長QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F1PQ的面積為20，求此時(shí)橢圓的方程．解　(1)因?yàn)镸F1⊥x軸，所以xM＝－c，代入＋＝1，得yM＝，所以kOM＝＝－.因?yàn)閗AB＝－，OM∥AB，所以－＝－，即b＝c.從而a＝c，故e＝＝.(2)設(shè)|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，則m＋n＝2a，|F1F2|＝△F1QF2中，由余弦定理，得cosθ＝＝＝－1≥－1＝0.當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，上式等號(hào)成立，因?yàn)?≤cosθ≤1，故θ∈.(3)因?yàn)閎＝c，a＝c，所以橢圓方程為＋＝1.因?yàn)镻Q⊥AB，kAB＝－＝－，所以kPQ＝.所以直線PQ：y＝(x－c). 代入橢圓方程得5x2－8cx＋2c2＝0.由弦長公式得|PQ|＝c.又點(diǎn)F1到直線PQ的距離為d＝c，所以S△F1PQ＝|PQ|d＝c2.由c2＝20，得c2＝＋＝1.10．已知直線l過橢圓E：x2＋2y2＝2的右焦點(diǎn)F，且與E相交于P，Q兩點(diǎn)．(1)設(shè)= （ + ）（O為原點(diǎn)），求點(diǎn)R的軌跡方程。（2）若直線l的傾斜角為60176。，求的值.解　(1)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x，y)＝( ＋ )?(x，y)＝[(x1，y1)＋(x2，y2)]?由x2+2y2=2?，易得右焦點(diǎn)F(1,0)．當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，直線l的方程是：x=1，根據(jù)對稱性可知R(1,0)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=k(x 1)代入E有(2k2+1)x2 4k2x+2k2 2=0Δ=8k2+80；x1+x2=于是R(x，y)：x = = ；y = k(x 1)，消去參數(shù)k得x2+2y2 – x = 0而R(1,0)也適合上式，故R的軌跡方程是x2+2y2 – x = 0. (2)設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，在△PF′F中∠PFF′=120176。，|F′F|=2，設(shè)|PF|=m，則|PF|= 2 m ，由余弦定理得(2 m)2=22+m222mcos120176?！鄊 = .同理，在△QF′F中，設(shè)|QF|=n，則|QF|=2 n.也由余弦定理得(2 n)2=22+n222ncos60176。∴n=，于是，,.37