【正文】 2kPB＝|PF2|＝20.10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，－)、(0，)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.(1)寫出C的方程；（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)⊥?此時(shí)||的值是多少? 解　(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，－)、(0，)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，它的短半軸長(zhǎng)b＝＝1，故曲線C的方程為x2＋＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－.若⊥⊥，則x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化簡(jiǎn)得－4k2＋1＝0，所以k＝177。a＝4，又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16＝8，故橢圓方程為＋＝1.知識(shí)點(diǎn)三　求橢圓的離心率　已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60176。 C．177。PF22b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3,2a＝3cos.即(r1＋r2)2－2r1r2－36＝r1r2.根據(jù)橢圓的定義，有r1＋r2＝10.∴r1r2＝＝64(2－)，∴S△MF1F2＝r1r2＝0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．（1）∵＝2，|PF2|最大值與最小值之差為a2－b2＝c2.4. 已知F又x1＋x2＝2＝1，y1＋y2＝2＝1，所以＝－，即直線的斜率為－，所以直線方程為：y－＝－(x－)，即2x＋4y－3＝0.【反思感悟】　本題是典型的中點(diǎn)弦問(wèn)題，故可用“點(diǎn)差法”求解，基本步驟是：設(shè)點(diǎn)、代點(diǎn)、作差得到弦所在直線斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系．　在橢圓＋＝1內(nèi)，通過(guò)M(1,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為_(kāi)_______．答案　x＋4y－5＝0解析　設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由①－②，得＋＝0，因所以＝－，所求直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0.知識(shí)點(diǎn)二　橢圓中的最值問(wèn)題　已知橢圓＋＝1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，求|PF1| = 0，且tan∠PF1F2＝，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．答案　解析 由∴n=，于是，,.37。)答案　D解析　因?yàn)閙＋5m－2，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：＋＝1；其中a2＝m＋5，b2＝m－2，∴c2＝a2－b2＝(m＋5)－(m－2)＝7，解得：c＝；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，177。167。|PF2|≤2＝a2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號(hào)．|PF1|.所以l存在，其方程為y＝177。|PF2|的最大值是__________；最小值是__________．答案　4　3解析　設(shè)|PF1|＝x，則k＝x(2a－x)因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4∴kmax＝4，kmin＝3.三、解答題8．△ABC的三邊a、b、c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，求頂點(diǎn)B的軌跡方程．解　由題意得2b＝a＋c，即a＋c＝4.∴|BC|＋|BA|＝4|AC|＝2.∴B點(diǎn)的軌跡為橢圓∴方程為＋＝1.因B點(diǎn)是△ABC的頂點(diǎn)，不在x軸上，所以所求的軌跡方程為＋＝1 (x≠177。＝∴2c＝∴(2ac)2＝3(a2－c2)2解得e＝＝.5．設(shè)橢圓＋＝1的離心率為，則m的值是(　　)A．3 B. D．2或答案　C解析　當(dāng)m4時(shí)，此時(shí)有＝，所以m＝；當(dāng)0m4時(shí)，＝，所以m＝3.6．直線y＝x與橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．答案　解析　當(dāng)x＝c時(shí)，y＝177。sin，∴S△F1PF2＝＝.(2)∵a＝10，∴根據(jù)橢圓的定義得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2，∴PF1答案　A解析　因?yàn)榫€段PF1的中點(diǎn)在y軸上，所以PF2⊥x軸，F(xiàn)2為另一焦點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.M是PF1的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)是177。＝＝－1≥－1＝－1＝1－2()2＝1－2e2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取“＝”號(hào))所以e2≥，又e∈(0,1)，所以e∈[，1)(2)證明　在△PF1F2中，由余弦定理可知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF2||PF1|時(shí)，x1＋x2＝177。2)，化簡(jiǎn)得＋＝1(x≠177。cos120176。求的值.解　(1)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x，y)＝( ＋ )?(x，y)＝[(x1，y1)＋(x2，y2)]?由x2+2y2=2?，易得右焦點(diǎn)F(1,0)．當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，直線l的方程是：x=1，根據(jù)對(duì)稱性可知R(1,0)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=k(x 1)代入E有(2k2+1)x2 4k2x+2k2 2=0Δ=8k2+80；x1+x2=于是R(x，y)：x = = ；y = k(x 1)，消去參數(shù)k得x2+2y2 – x = 0而R(1,0)也適合上式，故R的軌跡方程是x2+2y2 – x = 0. (2)設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，在△PF′F中∠PFF′=120176。|PF2|取得最小值a2－c2＝b2.所以|PF1|＝－1，解得c＝＋＝1.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,4)在橢圓上，所以＋＝1.解得a2＝45或a2＝c，所以a2＝5舍去．故所求橢圓方程為＋＝1. 方法二　因?yàn)镻F1⊥PF2，所以△PF1F2為直角三角形．所以|OP|＝|F1F2|＝c.又|OP|＝＝5，所以c＝5.所以橢圓方程為＋＝1(以下同方法一)．(2)由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝6，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②得2|PF1|= 2,∵=，∴b2=8，∴a2=2b2=16，故橢圓的方程為 【反思感悟】　由橢圓的幾何性質(zhì)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是：(1)構(gòu)造方程求出a、b的值；(2)確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．. 已知FF2是橢圓 (ab0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)B也在橢圓上，且滿足＋＝0(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，AF2⊥，△ABF2的面積等于4，求橢圓的方程．解 由＋＝0知，直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∵e＝＝，∴b2＝a2，設(shè)A(x，y)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得＋＝1，∴y＝，連結(jié)AF1，BF1，AF2，BF2，由橢圓的對(duì)稱性可知S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，所以|PF2|＝24.2．一動(dòng)圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1答案　A解析　兩定圓的圓心和半徑分別為O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9，設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.所以|MO1|＋|MO2|＝10.由橢圓的定義知：M在以O(shè)O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a＝5，c＝＝a2－c2＝25－9＝16.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為＋＝.3．橢圓＋＝1上的一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于(　　)A．2 B．4 C．8 D.答案　B解析　因?yàn)閨MF1|＋|MF2|＝10，|ON|＝|MF2|，因?yàn)閨MF2|＝8，所以|ON|＝4.4．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　)A．177。cos∠F1PF2＝F1F，即m2＋n2－2mn時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝，綜上所述|AB|max＝2.∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值．S＝|AB|max＝.、F2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)．(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積；(2)求PF1c,0)，焦距2c；（2）(ab0)，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,177。0)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(－1,0)，(0，)(0，－)．知識(shí)點(diǎn)二　由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓方程例2. 已知FF2是橢圓(ab0),的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若 ＝ 0，∴M點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|OP|c恒成立，由橢圓性質(zhì)知|OP|≥b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，∴bc，∴c2b2＝a2－c2，∴a22c2，∴2，∴e＝.又∵0e1，∴0e.5．設(shè)0k9，則橢圓＋＝1與＋＝1具有相同的(　　)A．頂點(diǎn) B．長(zhǎng)軸與短軸C．離心率 D．焦距答案　D解析　由0k9，知09－k25－k，橢圓＋＝1焦點(diǎn)在y軸上，＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，焦距也為8.二、填空題6．過(guò)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為_(kāi)_____．答案　解析　橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)F(1,0)且斜率為2的直線方程為y＝2(x－1)，即y＝2x－2.代入4x2＋5y2＝20得4x2＋54(x2－2x＋1)＝20∴x1＝0，x2＝.∴y1＝－2，y2＝.∴A(0，－2)，B.∴|AB|＝＝.又點(diǎn)O(0,0)到y(tǒng)＝2x－2的距離為d＝.∴S△OAB＝＝.7．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－，若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e＝________.答案　解析　如圖所示，設(shè)AB=BC=x，由cosB= 及余弦定理得AC2=AB2+BC2 2AB|PF2|＝x(2a－x)，再借助二次函數(shù)的性質(zhì)研究最值．解　設(shè)|PF1|＝x，由橢圓的定義知，|PF2|＝2a－x.∴|PF1|()2＝4c2∴e2＝＝，∴e＝.6