【正文】 2d＝c2.由c2＝20，得c2＝＋＝1.10．已知直線l過橢圓E：x2＋2y2＝2的右焦點F，且與E相交于P，Q兩點．(1)設(shè)= （ + ）（O為原點），求點R的軌跡方程。7,0) B．(0，177。|PF2|＝x(2a－x)＝－(x－a)2＋a2.又由橢圓的幾何性質(zhì)可知，a－c≤x≤a＋c.∴當(dāng)x＝a時，|PF1|x2＝－， ＝＝BCcosB= x2+x2+2x2，∴AC2=x2，∴AC = x.∵橢圓以A、B為焦點，∴焦距為2c = AB = x.又橢圓經(jīng)過點C，∴AC+BC=x +x=2a，∴2a=x，∴e== .三、解答題8．已知＋y2＝1表示離心率為的橢圓，求橢圓方程．解　當(dāng)a21時，半焦距為，所以＝，解得a2＝，方程為＋y2＝1.當(dāng)a21時，同理可得1－a2＝，a2＝，方程為＋y2＝1.綜上所述，所求的橢圓方程為＋y2＝1或＋y2＝1.9．已知點P(3,4)是橢圓＋＝1 (ab0)上的一點，F(xiàn)F2為橢圓的兩焦點，若PF1⊥PF2，試求：(1)橢圓的方程；(2)△PF1F2的面積．解　方法一　(1)令F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則b2＝a2－⊥PF2，所以kPF1＝＝因為m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn所以＝1，所以mn＝b2，所以S△PF1F2＝mnsin60176。=0，橢圓的離心率等于，△AOF2的面積為2，求橢圓的方程.解 ∵3,0)解析　設(shè)橢圓上的動點為P，由橢圓的定義可知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1||PF2|≤2＝2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時取等號；由，解得：|PF1|＝|PF2|＝5＝a，此時點P恰好是橢圓短軸的兩端點，即P(177。c)，焦距2c.橢圓的焦點在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上..課時作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓＋＝1上一點P與橢圓的兩個焦點FF2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為(　　)A．20　　　B．22　　　C．28　　　D．24答案　D解析　由|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，得2|PF1|PF2的最大值是100.講練學(xué)部分2．　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)對點講練知識點一　橢圓定義的應(yīng)用　平面內(nèi)一動點M到兩定點FF2距離之和為常數(shù)2a，則點M的軌跡為(　　)A．橢圓　　　　 　　　　B．圓C．無軌跡 D．橢圓或線段或無軌跡答案　D解析　當(dāng)2a|F1F2|時是橢圓，當(dāng)2a＝|F1F2|時，是線段，當(dāng)2a|F1F2|時無軌跡，所以選D. 【反思感悟】　并不是動點到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡就一定是橢圓，只有當(dāng)距離之和大于兩定點之間的距離時得到的軌跡才是橢圓．　命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a為常數(shù))；命題乙：點P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點，則命題甲是命題乙的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件答案　B知識點二　由橢圓方程求參數(shù)的范圍　若方程＋＝1表示橢圓，求k的取值范圍．解　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知解得3k5，且k≠4.【反思感悟】　5－k≠k－3包括了焦點在x軸、y軸兩種情況的橢圓．　方程＋＝1表示焦點在y軸的橢圓，求m的范圍．解　由題意得3－2m2m－10，即　解得：m1.知識點三　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點．(1)解　方法一　因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (ab0)．由橢圓的定義知2a＝ ＋＝2，所以a＝.又因為c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，因點在橢圓上，代入橢圓方程得：＋＝1，解得：a2＝10.∴所求方程為＋＝1.(2)解　方法一　①當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.②當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有解得因為ab，所以方程無解．綜上①②知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，根據(jù)題意得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.【反思感悟】　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常利用待定系數(shù)法，如果不能確定焦點是在x軸上還是在y軸上，要分兩種情況求解，當(dāng)然也可以按(2)中的方法二設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，這樣就可避免分情況討論了．　求焦點在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過點P(3，－2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解　∵2c＝4，∴c＝2.由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.代入P(3，－2)，得＋＝1.a2＝1或a2＝36，∵ac，∴方程為＋＝1.課堂小結(jié)：|F1F2|時，軌跡才是橢圓；2a=| F1F2|時，軌跡是線段 F1F2；2a| F1F2|時沒有軌跡.、y軸上的依據(jù)是標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母，焦點在分母大的對應(yīng)軸上. ，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點的位置，那么有兩種方法來解決問題，一是分類討論全面考慮問題；二是設(shè)橢圓方程一般式，也就是：（1）如果明確焦點在x軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(ab0).(2)如果明確焦點在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(ab0).（3）如果中心在原點，但焦點的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么方程可以設(shè)為mx2 + ny2=1(m0,n0，m≠n)，進(jìn)而求解.課時作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選擇題1．橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，若長、短軸之和為18，焦距為6，那么橢圓的方程為(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1答案　D解析　????.2．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊BC上，則△ABC的周長為(　　)A．2 B．4 C．6 D．16答案　B解析　由題意知，三角形的周長為B點到橢圓兩焦點距離之和加上C點到橢圓兩焦點距離之和，因此周長為4.3．當(dāng)直線y＝kx＋2的傾斜角大于45176。PF2的最大值．解：(1)設(shè)PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根據(jù)橢圓的定義得m＋n＝△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1橢圓典例剖析知識點一　橢圓定義的應(yīng)用　方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是________．解析：因為焦點在y軸上，所以16＋m25－m，即m，又因為b2＝25－m0，故m25，所以m的取值范圍為m：m25 知識點二　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)．(2)經(jīng)過點A(，)，B(0，－)．(1)解　方法一　橢圓的焦點在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．由橢圓定義知：2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，因為c＝4，所以a2－b2＝c2＝(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)方法一　①當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得又因為ab，所以該方程組無解．②當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．依題意有解得所以方程為＋＝1.綜上知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依題意有解得所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.練習(xí)：過點(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析：因為c2＝9－4＝5，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝＋＝：＋＝1知識點三　根據(jù)方程研究幾何性質(zhì)　求橢圓25x2＋16y2＝400的長軸、短軸、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)．解　將方程變形為＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝＝10,2b＝8，離心率e＝＝，焦點坐標(biāo)為(0，－3)，(0,3)，頂點坐標(biāo)為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知識點四　根據(jù)幾何性質(zhì)求方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長是6，離心率是.(2)在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.解　(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.(2)設(shè)橢圓方程為 (ab0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求橢圓的方程為,知識點五　求橢圓的離心率　如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標(biāo)等于右焦點的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的，求橢圓的離心率．解　方法一　設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a，b， (c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，M點的坐標(biāo)為(c， b)，則△MF1F2為直角三角形．在Rt△M F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知識點六　直線與橢圓的位置關(guān)系問題　當(dāng)m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離．解　由題意，得①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化簡，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144