【正文】 F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得,∴∵△AOF2的面積為2，∴S△AOF2=xy=2，即 c＝0，點N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)求過點Q(2,1)的弦的中點的軌跡方程．（1）∵＝2，3,0)．7．點A，B的坐標分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點M的軌跡方程為______________________．答案　x＝－3 (y≠0)解析　設點M的坐標為(x，y)，由已知，得直線AM的斜率kAM＝(x≠－1)；直線BM的斜率kBM＝(x≠1)．由題意，得＝2，所以，＝2(x≠177。 D．177。|PF2|＝142－100＝96.又因PF1⊥PF2，所以S＝|PF1|cos.即(r1＋r2)2－2r1r2－36＝r1r2.根據(jù)橢圓的定義，有r1＋r2＝10.∴r1r2＝＝64(2－)，∴S△MF1F2＝r1r2小于90176。sin∠F1PF2＝mnPF22b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1.若橢圓的焦點在y軸上，設橢圓方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過點A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3,2a＝3橢圓典例剖析知識點一　橢圓定義的應用　方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是________．解析：因為焦點在y軸上，所以16＋m25－m，即m，又因為b2＝25－m0，故m25，所以m的取值范圍為m：m25 知識點二　求橢圓的標準方程　求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)．(2)經(jīng)過點A(，)，B(0，－)．(1)解　方法一　橢圓的焦點在x軸上，設其標準方程為＋＝1(ab0)．由橢圓定義知：2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故橢圓標準方程為＋＝1.方法二　設橢圓的標準方程為＋＝1(ab0)，因為c＝4，所以a2－b2＝c2＝(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以橢圓的標準方程為＋＝1.(2)方法一?、佼敊E圓焦點在x軸上時，設標準方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得又因為ab，所以該方程組無解．②當橢圓焦點在y軸上時，設標準方程為＋＝1(ab0)．依題意有解得所以方程為＋＝1.綜上知，所求橢圓的標準方程為：＋＝1.方法二　設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依題意有解得所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，即其標準方程為＋＝1.練習：過點(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程是________．解析：因為c2＝9－4＝5，所以設所求橢圓的標準方程為＋＝(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝＋＝：＋＝1知識點三　根據(jù)方程研究幾何性質　求橢圓25x2＋16y2＝400的長軸、短軸、離心率、焦點坐標和頂點坐標．解　將方程變形為＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝＝10,2b＝8，離心率e＝＝，焦點坐標為(0，－3)，(0,3)，頂點坐標為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知識點四　根據(jù)幾何性質求方程　求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸長是6，離心率是.(2)在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.解　(1)設橢圓的方程為＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.(2)設橢圓方程為 (ab0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求橢圓的方程為,知識點五　求橢圓的離心率　如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的，求橢圓的離心率．解　方法一　設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a，b， (c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，M點的坐標為(c， b)，則△MF1F2為直角三角形．在Rt△M F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知識點六　直線與橢圓的位置關系問題　當m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離．解　由題意，得①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化簡，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14 400.當Δ＝0時，得m＝177?！啵絚即＝c　∴e2＋e－1＝0，解得e＝.7．傾斜角為的直線交橢圓＋y2＝1于A，B兩點，則線段AB中點的軌跡方程是________．答案　x＋4y＝0(－x)解析　設中點坐標為(x，y)，A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，整理，得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，則所以x＋4y＝0.由Δ＝64b2－454(b2－1)0，得－b，故－x.8．求過點A(2,0)，且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內切的圓的圓心的軌跡方程．解　將圓的方程化為標準形式(x＋2)2＋y2＝62，這時，已知圓的圓心坐標為B(－2,0)，半徑為6，如圖所示．設動圓圓心M的坐標為(x，y)，由于動圓與已知圓相內切，設切點為C.∴已知圓(大圓)半徑與動圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離．∴即|BC| |MC|=|BM|.而|BC|=6，∴|BM|+|CM|=6.又|CM|=|AM|，∴|BM|+|AM|=6.根據(jù)橢圓的定義知點M的軌跡是以點B(2,0)和點A(2,0)為焦點，線段AB的中點(0,0)為中心的橢圓．∴a=3，c=2，b=∴所求圓心的軌跡方程為 , ＋＝19．求滿足下列各條件的橢圓的標準方程．(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為；(3)經(jīng)過點P(－2，1)，Q(，－2)兩點；(4)與橢圓＋＝1有相同離心率，焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2，－)．解　(1)若橢圓的焦點在x軸上，設方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過點A(3,0)，∴＝1，a＝3，∵2a＝3PF2的最大值．解：(1)設PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根據(jù)橢圓的定義得m＋n＝△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2PF2的最大值是100.講練學部分2．　橢圓及其標準方程(一)對點講練知識點一　橢圓定義的應用　平面內一動點M到兩定點FF2距離之和為常數(shù)2a，則點M的軌跡為(　　)A．橢圓　　　　 　　　　B．圓C．無軌跡 D．橢圓或線段或無軌跡答案　D解析　當2a|F1F2|時是橢圓，當2a＝|F1F2|時，是線段，當2a|F1F2|時無軌跡，所以選D. 【反思感悟】　并不是動點到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡就一定是橢圓，只有當距離之和大于兩定點之間的距離時得到的軌跡才是橢圓．　命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a為常數(shù))；命題乙：點P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點，則命題甲是命題乙的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件答案　B知識點二　由橢圓方程求參數(shù)的范圍　若方程＋＝1表示橢圓，求k的取值范圍．解　由橢圓的標準方程知解得3k5，且k≠4.【反思感悟】　5－k≠k－3包括了焦點在x軸、y軸兩種情況的橢圓．　方程＋＝1表示焦點在y軸的橢圓，求m的范圍．解　由題意得3－2m2m－10，即　解得：m1.知識點三　求橢圓的標準方程　求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點，求它的標準方程．(2)焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點．(1)解　方法一　因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為＋＝1 (ab0)．由橢圓的定義知2a＝ ＋＝2，所以a＝.又因為c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求橢圓的標準方程為＋＝1.方法二　設橢圓的標準方程為＋＝1，因點在橢圓上，代入橢圓方程得：＋＝1，解得：a2＝10.∴所求方程為＋＝1.(2)解　方法一?、佼斀裹c在x軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有，解得所以橢圓的標準方程為＋＝1.②當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有解得因為ab，所以方程無解．綜上①②知，所求橢圓的標準方程為＋＝1.方法二　設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，根據(jù)題意得解得所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.【反思感悟】　求橢圓的標準方程通常利用待定系數(shù)法，如果不能確定焦點是在x軸上還是在y軸上，要分兩種情況求解，當然也可以按(2)中的方法二設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，這樣就可避免分情況討論了．　求焦點在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過點P(3，－2)的橢圓的標準方程．解　∵2c＝4，∴c＝2.由題意可設橢圓的標準方程為＋＝1.代入P(3，－2)，得＋＝1.a2＝1或a2＝36，∵ac，∴方程為＋＝1.課堂小結：|F1F2|時，軌跡才是橢圓；2a=| F1F2|時，軌跡是線段 F1F2；2a| F1F2|時沒有軌跡.、y軸上的依據(jù)是標準方程中的分母，焦點在分母大的對應軸上. ，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點的位置，那么有兩種方法來解決問題，一是分類討論全面考慮問題；二是設橢圓方程一般式，也就是：（1）如果明確焦點在x軸上，那么設所求的橢圓的方程為(ab0).(2)如果明確焦點在y軸上，那么設所求的橢圓的方程為(ab0).（3）如果中心在原點，但焦點的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么方程可以設為mx2 + ny2=1(m0,n0，m≠n)，進而求解.課時作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選