【正文】 F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得,∴∵△AOF2的面積為2，∴S△AOF2=xy=2，即 c＝0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．（1）∵＝2，3,0)．7．點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____________________．答案　x＝－3 (y≠0)解析　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知，得直線AM的斜率kAM＝(x≠－1)；直線BM的斜率kBM＝(x≠1)．由題意，得＝2，所以，＝2(x≠177。 D．177。|PF2|＝142－100＝96.又因PF1⊥PF2，所以S＝|PF1|cos.即(r1＋r2)2－2r1r2－36＝r1r2.根據(jù)橢圓的定義，有r1＋r2＝10.∴r1r2＝＝64(2－)，∴S△MF1F2＝r1r2小于90176。sin∠F1PF2＝mnPF22b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3,2a＝3橢圓典例剖析知識(shí)點(diǎn)一　橢圓定義的應(yīng)用　方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是________．解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以16＋m25－m，即m，又因?yàn)閎2＝25－m0，故m25，所以m的取值范圍為m：m25 知識(shí)點(diǎn)二　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)．(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(，)，B(0，－)．(1)解　方法一　橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．由橢圓定義知：2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，因?yàn)閏＝4，所以a2－b2＝c2＝(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)方法一?、佼?dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)，依題意有解得又因?yàn)閍b，所以該方程組無(wú)解．②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．依題意有解得所以方程為＋＝1.綜上知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依題意有解得所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.練習(xí)：過(guò)點(diǎn)(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析：因?yàn)閏2＝9－4＝5，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝＋＝：＋＝1知識(shí)點(diǎn)三　根據(jù)方程研究幾何性質(zhì)　求橢圓25x2＋16y2＝400的長(zhǎng)軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．解　將方程變形為＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝＝10,2b＝8，離心率e＝＝，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)，(0,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知識(shí)點(diǎn)四　根據(jù)幾何性質(zhì)求方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，離心率是.(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.解　(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.(2)設(shè)橢圓方程為 (ab0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求橢圓的方程為,知識(shí)點(diǎn)五　求橢圓的離心率　如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的，求橢圓的離心率．解　方法一　設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a，b， (c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(c， b)，則△MF1F2為直角三角形．在Rt△M F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知識(shí)點(diǎn)六　直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題　當(dāng)m取何值時(shí)，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離．解　由題意，得①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化簡(jiǎn)，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14 400.當(dāng)Δ＝0時(shí)，得m＝177。∴＝c即＝c　∴e2＋e－1＝0，解得e＝.7．傾斜角為的直線交橢圓＋y2＝1于A，B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．答案　x＋4y＝0(－x)解析　設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，整理，得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，則所以x＋4y＝0.由Δ＝64b2－454(b2－1)0，得－b，故－x.8．求過(guò)點(diǎn)A(2,0)，且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．解　將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x＋2)2＋y2＝62，這時(shí)，已知圓的圓心坐標(biāo)為B(－2,0)，半徑為6，如圖所示．設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，由于動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為C.∴已知圓(大圓)半徑與動(dòng)圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離．∴即|BC| |MC|=|BM|.而|BC|=6，∴|BM|+|CM|=6.又|CM|=|AM|，∴|BM|+|AM|=6.根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)和點(diǎn)A(2,0)為焦點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓．∴a=3，c=2，b=∴所求圓心的軌跡方程為 , ＋＝19．求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)；(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2)兩點(diǎn)；(4)與橢圓＋＝1有相同離心率，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－)．解　(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，∴＝1，a＝3，∵2a＝3PF2的最大值．解：(1)設(shè)PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根據(jù)橢圓的定義得m＋n＝△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2PF2的最大值是100.講練學(xué)部分2．　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一　橢圓定義的應(yīng)用　平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)FF2距離之和為常數(shù)2a，則點(diǎn)M的軌跡為(　　)A．橢圓　　　　 　　　　B．圓C．無(wú)軌跡 D．橢圓或線段或無(wú)軌跡答案　D解析　當(dāng)2a|F1F2|時(shí)是橢圓，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，是線段，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡，所以選D. 【反思感悟】　并不是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓，只有當(dāng)距離之和大于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)得到的軌跡才是橢圓．　命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a為常數(shù))；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點(diǎn)，則命題甲是命題乙的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件答案　B知識(shí)點(diǎn)二　由橢圓方程求參數(shù)的范圍　若方程＋＝1表示橢圓，求k的取值范圍．解　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知解得3k5，且k≠4.【反思感悟】　5－k≠k－3包括了焦點(diǎn)在x軸、y軸兩種情況的橢圓．　方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，求m的范圍．解　由題意得3－2m2m－10，即　解得：m1.知識(shí)點(diǎn)三　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(，－2)和B(－2，1)兩點(diǎn)．(1)解　方法一　因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (ab0)．由橢圓的定義知2a＝ ＋＝2，所以a＝.又因?yàn)閏＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，因點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程得：＋＝1，解得：a2＝10.∴所求方程為＋＝1.(2)解　方法一?、佼?dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(ab0)．根據(jù)題意有解得因?yàn)閍b，所以方程無(wú)解．綜上①②知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.方法二　設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，根據(jù)題意得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.【反思感悟】　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常利用待定系數(shù)法，如果不能確定焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，要分兩種情況求解，當(dāng)然也可以按(2)中的方法二設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，這樣就可避免分情況討論了．　求焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解　∵2c＝4，∴c＝2.由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.代入P(3，－2)，得＋＝1.a2＝1或a2＝36，∵ac，∴方程為＋＝1.課堂小結(jié)：|F1F2|時(shí)，軌跡才是橢圓；2a=| F1F2|時(shí)，軌跡是線段 F1F2；2a| F1F2|時(shí)沒(méi)有軌跡.、y軸上的依據(jù)是標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母，焦點(diǎn)在分母大的對(duì)應(yīng)軸上. ，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，那么有兩種方法來(lái)解決問(wèn)題，一是分類討論全面考慮問(wèn)題；二是設(shè)橢圓方程一般式，也就是：（1）如果明確焦點(diǎn)在x軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(ab0).(2)如果明確焦點(diǎn)在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(ab0).（3）如果中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么方程可以設(shè)為mx2 + ny2=1(m0,n0，m≠n)，進(jìn)而求解.課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、選