圓錐曲線必背法-資料下載頁
2025-07-25 00:15本頁面
【正文】 、且垂直于極軸的直線.極坐標系與直角坐標系的換算關系是：，或者：，特別注意：極坐標系中，以焦點為極點(原點)，而直角坐標系中以對稱點為原點得到標準方程.如圖，為極點，為準線，則依據定義，到定點(極點)和到定直線(準線)的距離之比為定值(定值)的點的軌跡為圓錐曲線.所以，對極坐標系，請記住：⑴ 極坐標系的極點是橢圓的左焦點、拋物線的焦點、雙曲線的右焦點；⑵ 曲線上的點到焦點的距離是，到準線的距離是，根據定義：即：，即：，即： ①這就是極坐標下，圓錐曲線的通式.⑶ 對應不同的，呈現(xiàn)不同的曲線. 對雙曲線，只是右邊的一支；對拋物線，開口向右.二、極軸旋轉將極軸旋轉，和分別對應變換前后的極角，即轉角為，則極坐標方程變換前方程為：變換后方程為： ②此時的極坐標系下，此時有：⑴ 極坐標系的極點是橢圓的右焦點、拋物線的焦點、雙曲線的左焦點；⑵ 對應不同的，呈現(xiàn)不同的曲線. 對雙曲線，只是左邊的一支；對拋物線，開口向左.三、極軸旋轉⑴將極軸順時針旋轉，即：，則情況如圖.圓錐曲線的方程為： ③此時的極坐標系下：對應于直角坐標系下，焦點在軸的情況，且極點對應于橢圓下方的焦點，雙曲線上方的焦點，拋物線的焦點. 對雙曲線，只是軸上邊的一支；對拋物線，開口向上.⑵如果將極軸逆時針旋轉，即：，則情況如圖.圓錐曲線的方程為： ③此時的極坐標系下：對應于直角坐標系下，焦點在軸的情況，且對應于橢圓上方的焦點，雙曲線下方的焦點，拋物線的焦點.對雙曲線，只是軸下邊的一支；對拋物線，開口向下.四、坐標變換⑴在極坐標系中，圓錐曲線的通式為： ①即：，即：即： ②將，代入②式得：即： ③ 當時有：即：即： ④⑴當時，令，則：而：代入④式得： ⑤這是標準的橢圓方程.⑵當時，令，則：而：代入④式得： ⑥這是標準的雙曲線方程.⑶當時，由③式得：即：即： ⑦這是標準的拋物線方程.第 16 頁
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