【正文】 點坐標間的關(guān)系．　在橢圓＋＝1內(nèi)，通過M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為________．答案　x＋4y－5＝0解析　設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由①－②，得＋＝0，因所以＝－，所求直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0.知識點二　橢圓中的最值問題　已知橢圓＋＝1(ab0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的任意一點，求|PF1|.當k＝177。|PF2|最大值與最小值之差為a2－b2＝c2.4. 已知F.(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．解　設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，(1)在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝，即cos60176。＝0，點N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)求過點Q(2,1)的弦的中點的軌跡方程．（1）∵＝2， D．177。cos.即(r1＋r2)2－2r1r2－36＝r1r2.根據(jù)橢圓的定義，有r1＋r2＝10.∴r1r2＝＝64(2－)，∴S△MF1F2＝r1r2sin∠F1PF2＝mn2b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1.若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過點A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3,2a＝3∴＝c即＝c　∴e2＋e－1＝0，解得e＝.7．傾斜角為的直線交橢圓＋y2＝1于A，B兩點，則線段AB中點的軌跡方程是________．答案　x＋4y＝0(－x)解析　設(shè)中點坐標為(x，y)，A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，整理，得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，則所以x＋4y＝0.由Δ＝64b2－454(b2－1)0，得－b，故－x.8．求過點A(2,0)，且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．解　將圓的方程化為標準形式(x＋2)2＋y2＝62，這時，已知圓的圓心坐標為B(－2,0)，半徑為6，如圖所示．設(shè)動圓圓心M的坐標為(x，y)，由于動圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點為C.∴已知圓(大圓)半徑與動圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離．∴即|BC| |MC|=|BM|.而|BC|=6，∴|BM|+|CM|=6.又|CM|=|AM|，∴|BM|+|AM|=6.根據(jù)橢圓的定義知點M的軌跡是以點B(2,0)和點A(2,0)為焦點，線段AB的中點(0,0)為中心的橢圓．∴a=3，c=2，b=∴所求圓心的軌跡方程為 , ＋＝19．求滿足下列各條件的橢圓的標準方程．(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為；(3)經(jīng)過點P(－2，1)，Q(，－2)兩點；(4)與橢圓＋＝1有相同離心率，焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2，－)．解　(1)若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為＋＝1(ab0)，∵橢圓過點A(3,0)，∴＝1，a＝3，∵2a＝3PF22)．9．已知經(jīng)過橢圓＋＝1的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點．(1)求△AF1B的周長；(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎？為什么？解　由已知，a＝5，b＝4，所以c＝＝3. (1)△AF1B的周長＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|.由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a，①|(zhì)BF1|＋|BF2|＝2a，②所以，△AF1B的周長為4a＝20.(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長不變化．這是因為①②兩式仍然成立，△AF1B的周長為20，這是定值．10．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點坐標分別是(－3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)兩個焦點坐標分別為(0,5)，(0，－5)，橢圓上一點P到兩焦點的距離和為26.解　(1)∵橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標準方程為＋＝1 (ab0)，∵2a＝＋＝10，2c＝6，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16，∴所求橢圓的方程為＋＝1.(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標準方程為＋＝1 (ab0)．∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5，∴b2＝a2－c2＝144，∴所求橢圓的方程為＋＝1.2．　橢圓及其標準方程(二)對點講練知識點一　與橢圓有關(guān)的軌跡方程　已知點M在橢圓＋＝1上，MP′垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為P′，并且M為線段PP′的中點，求P點的軌跡方程．分析　因點P與點M的坐標間存在一定關(guān)系，故可用P點坐標表示M點坐標，并代入M點坐標所滿足的方程，整理即得所求軌跡方程．解　設(shè)P點的坐標為(x，y)，M點的坐標為(x0，y0)．∵點M在橢圓＋＝1上，∴＋＝1.∵M是線段PP′的中點，∴　把，代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.∴P點的軌跡方程為x2＋y2＝36.【反思感悟】　本例中動點P與曲線上的點M稱為相關(guān)點(有關(guān)系的兩點)，這種求軌跡方程的方法稱為相關(guān)點求軌跡方程法．其基本步驟就是先求出M點與P點的坐標關(guān)系式并用P點的坐標表示M點坐標，然后代入M點坐標所滿足的方程，整理后即得所求．　如圖所示在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？解　設(shè)點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則x=x0，y=.因為點P(x0，y0)在圓x2+y2=4上，所以x02＋4y02＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.所以點M的軌跡是一個橢圓．知識點二　應用橢圓定義求軌跡方程　已知圓B：(x＋1)2＋y2＝16及點A(1,0)，C為圓B上任意一點，求AC的垂直平分線l與線段CB的交點P的軌跡方程．分析　由圖可知點P到B點和A點的距離的和為定值，可借助橢圓定義來求．解　如圖所示，連結(jié)AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|=|CP|，∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，∴P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴點P的軌跡方程為＋＝1.【反思感悟】　求動點的軌跡方程時，應首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，看能否確定軌跡的類型，而不要起步就代入坐標，以致陷入繁瑣的化簡運算之中．　已知兩定點A、B，且|AB|＝8，M是平面上一動點，且|AM|＝10，線段BM的垂直平分線交AM于P點，P點的軌跡是什么圖形？解　如右圖所示|PB|=|PM|，|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10，|AB|=8，所以|PA|+|PB||AB|，所以P點軌跡是橢圓．知識點三　橢圓定義的綜合應用　設(shè)M是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)F2為焦點，∠F1MF2＝，求△MF1F2的面積．分析　在△MF1F2中，已知|F1F2|和∠F1MF2＝，況且|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，可根據(jù)余弦定理求得|MF1|和|MF2|的長，再利用面積公式可求．解　橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝9.∴a＝5，b＝4，c＝3.∴|F1F2|＝2c＝6,2a＝10.設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2.在△MF1F2中，由余弦定理，得：r＋r－|F1F2|2＝2r1r2 C．177。x＋3.＝2，a＝4，又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16＝8，故橢圓方程為＋＝1.知識點三　求橢圓的離心率　已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60176。|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|)＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2≥－c2＋a2＝b2，所以|PF1||PF2|＝20.10．在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，－)、(0，)的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C.(1)寫出C的方程；（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時⊥?此時||的值是多少? 解　(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓的定義可知，點P的軌跡C是以(0，－)、(0，)為焦點，長半軸長為2的橢圓，它的短半軸長b＝＝1，故曲線C的方程為x2＋＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，其坐標滿足消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－.若⊥⊥，則x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化簡得－4k2＋1＝0，所以k＝177?！×曨}課　　　　　　　　　　　　　　　　　　對點講練知識點一　橢圓的中點弦問題　已知橢圓＋y2＝1，求過橢圓內(nèi)點P(，)且被P平分的弦所在直線的方程．解　設(shè)該直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由①－②，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以＝－kPB＝)．2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是(　　)A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)答案　D解析　因為橢圓焦點在y軸上，所以標準方程為：＋＝1，其中a2＝，b2＝2，∴20，解得：0k1.3．橢圓＋＝1的一個焦點為(0,1)，則m的值為(　　)A．1 B.C．－2或1 D．－2或1或答案　C解析　由橢圓的一個焦點為(0,1)可知：橢圓的焦點在y軸上，且c＝1；所以橢圓的標準方程為：＋＝1，其中a2＝3－m，b2＝m2，∴c2＝a2－b2＝3－m－m2，由c2＝3－m－m2＝1，可解得：m＝－2或1.4．橢圓＋＝1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍答案　A解析　設(shè)PF1的中點為A，因A在y軸上，所以O(shè)A為△F1PF2的中位線，即有|PF2|＝2|AO|，因F2(3,0)，∴P點坐標為，即|PF2|＝.∴|PF1|＝＝7＝7|PF2|.二、填空題5. 已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓 (ab0)上的點，若21