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圓錐曲線的參數(shù)方程(更新版)

2025-09-13 04:45上一頁面

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【正文】 ＝2py(p＞0)的參數(shù)方程嗎？提示　(p＞0，t為參數(shù)，t∈R.)[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]普通方程參數(shù)方程＋＝1(a＞b＞0)(φ為參數(shù))＋＝1(a＞b＞0)(φ為參數(shù))普通方程參數(shù)方程－＝1(a＞b＞0)(φ為參數(shù))(1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程是(t∈R，t為參數(shù)).(2)參數(shù)t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù). 要點(diǎn)一　橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1　已知A、B分別是橢圓＋＝1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心G的軌跡的普通方程.解　由題意知A(6，0)，B(0，3).由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cos θ，3sin θ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得(θ為參數(shù))，即故重心G的軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).規(guī)律方法　，運(yùn)算更簡便.跟蹤演練1　已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：＋＝1.(1)化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說明它們分別表示什么曲線？(2)若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值.解　(1)由得∴曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓.曲線C2：＋＝1表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))(2)依題設(shè)，當(dāng)t＝時(shí)，P(－4，4)；且Q(8cos θ，3sin θ)，故M.又C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|，從而當(dāng)cos θ＝，sin θ＝－時(shí)，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.要點(diǎn)二　雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用例2　求證：雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積是一個(gè)定值.證明　由雙曲線－＝1，得兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(asec φ，btan φ)，它到兩漸近線的距離分別是d1和d2，則d
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