圓錐曲線知識點總結與經典例題-在線瀏覽
2025-08-06 00:49本頁面
【正文】 1）當為長軸端點時，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，橢圓的標準方程為：；三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。例： 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為 中點，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．解：由題意，設橢圓方程為，由，得，∴，∴， ∴為所求．五、求橢圓的離心率問題。解：頂點C到兩個定點A，B的距離之和為定值10，且大于兩定點間的距離，因此頂點C的軌跡為橢圓，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故頂點C的軌跡方程為＋＝、B、C三點構成三角形，所以y≠＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)2．已知橢圓的標準方程是＋＝1(a5)，它的兩焦點分別是F1，F(xiàn)2，且F1F2＝8，弦AB過點F1，求△ABF2的周長．因為F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周長為4a＝4.3．設FF2是橢圓＋＝1的兩個焦點,P是橢圓上的點，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面積．解析：由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面積為PF1例1 討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征．分析：由于，則的取值范圍為，分別進行討論．解：（1）當時，所給方程表示橢圓，此時，這些橢圓有共同的焦點（－4，0），（4，0）．（2）當時，所給方程表示雙曲線，此時，這些雙曲線也有共同的焦點（－4，0），）（4，0）．（3），時，所給方程沒有軌跡．說明：將具有共同焦點的一系列圓錐曲線，稱為同焦點圓錐曲線系，不妨取一些值，畫出其圖形，體會一下幾何圖形所帶給人們的美感．二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標準方程。例3 已知雙曲線的右焦點分別為、點在雙曲線上的左支上且，求的大?。治觯阂话愕?，求一個角的大小，通常要解這個角所在的三角形．解：∵點在雙曲線的左支上∴∴∴∵∴說明：（1）巧妙地將雙曲線的定義應用于解題當中，使問題得以簡單化．（2）題目的“點在雙曲線的左支上”這個條件非常關鍵，應引起我們的重視，若將這一條件改為“點在雙曲線上”結論如何改變呢？請讀者試探索．四、求與雙曲線有關的三角形的面積問題。例5 已知兩點、求與它們的距離差的絕對值是6的點的軌跡．分析：問題的條件符合雙曲線的定義，可利用雙曲線定義直接求出動點軌跡．解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點的軌跡是雙曲線．∵，∴∴所求方程為動點的軌跡方程，且軌跡是雙曲線．例:
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