圓錐曲線知識點總結與經(jīng)典例題-閱讀頁
2025-07-04 00:49本頁面
【正文】 是雙曲線上一點，、是雙曲線的兩個焦點，且，求的值．分析：利用雙曲線的定義求解．解：在雙曲線中，故．由是雙曲線上一點，得．∴或．又，得．說明：本題容易忽視這一條件，而得出錯誤的結論或． 六、求與圓有關的雙曲線方程。例1 指出拋物線的焦點坐標、準線方程．（1） （2）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點坐標和準線方程．（2）先把方程化為標準方程形式，再對a進行討論，確定是哪一種后，求p及焦點坐標與準線方程．解：（1），∴焦點坐標是（0，1），準線方程是：（2）原拋物線方程為：，①當時，拋物線開口向右，∴焦點坐標是，準線方程是：．②當時，拋物線開口向左，∴焦點坐標是，準線方程是：．綜合上述，當時，拋物線的焦點坐標為，準線方程是：．二、求直線與拋物線相結合的問題例2 若直線與拋物線交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2，求此直線方程．分析：由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解．另由于已知與直線斜率及弦中點坐標有關，故也可利用“作差法”求k．解法一：設、則由：可得：．∵直線與拋物線相交，且，則．∵AB中點橫坐標為：，解得：或（舍去）．故所求直線方程為：．解法二：設、則有．兩式作差解：，即．，故或（舍去）．則所求直線方程為：．三、求直線中的參數(shù)問題例3（1）設拋物線被直線截得的弦長為，求k值．（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當三角形的面積為9時，求P點坐標．分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求P點坐標．解：（1）由得：設直線與拋物線交于與兩點．則有： ，即（2），底邊長為，∴三角形高∵點P在x軸上，∴設P點坐標是則點P到直線的距離就等于h，即或，即所求P點坐標是（－1，0）或（5，0）．四、與拋物線有關的最值問題例4 定長為3的線段的端點、在拋物線上移動，求的中點到軸的距離的最小值，并求出此時中點的坐標．解：如圖，設是的焦點，、兩點到準線的垂線分別是、又到準線的垂線為，、和是垂足，則．設點的橫坐標為，縱坐標為，則．等式成立的條件是過點．當時，故，．所以，此時到軸的距離的最小值為．例 已知點，為拋物線的焦點，點在該拋物線上移動，當取最小值時，點的坐標為__________．分析：本題若建立目標函數(shù)來求的最小值是困難的，若巧妙地利用拋物線定義，結合圖形則問題不難解決．解：如圖，由定義知，故．取等號時，、三點共線，∴點縱坐標為2，代入方程，求出其橫坐標為2，所以點坐標為．
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