【文章內容簡介】 y Cf x y? ? ??? ??2 0ax bx c? ? ?并對方程進行討論 。 這時要注意考慮 a＝ 0和 a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除 a≠0， Δ＝ 0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，都只有一個交點 (此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況 ). 47 (1)通過方程組轉化為一元二次方程，結合根與系數的關系及中點坐標公式進行求解； (2)點差法，設出兩端點的坐標，利用中點坐標公式求解； (3)中點轉移法，先設出一個端點的坐標，再借助中點設出另一個端點的坐標，而后消去二次項 . 48 利用弦長公式求解： 直線 l:y=kx+b與圓錐曲線交于 A（ x1,y1）、 B（ x2,y2），則弦長為 222 1 2 1221221 2 1 2122( ) ( )1( 1 ) [ ( ) 4 ]11A B x x y yk x xk x x x xyyk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?49 例 1： 過點 (0,2)與拋物線 只有一個公共點的直線有 ( ) （ A） 1條 (B)2條 (C)3條 (D)無數多條 xy 82 ? C . P 題型一：直線與圓錐曲線的位置關系 50 題型 一： 直線與圓錐曲線的位置關系 例 2 ： 已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x ＋ m . ( 1 ) 當直線與橢圓有公共點時，求實數 m 的取值范圍； ( 2 ) 求被橢圓截得的最長弦的長度． [ 分析 ] ( 1 ) 直線與橢圓位置關系利用方程組解的情況來判斷，從方程角度看，當直線與橢圓有公共點時，一元二次方程根的判別式 Δ ≥ 0 ； ( 2 ) 可以結合 ( 1 ) 的結論，利用弦長公式求解． 51 解 ： 由方程組????? 4 x2＋ y2＝ 1y ＝ x ＋ m，消去 y ，整理得 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1 ＝ 0. ( 1) ∵ 直線與橢圓有公共點， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20 ( m2－ 1) ＝ 20 － 16 m2≥ 0 ， 解之得：－52≤ m ≤52. 52 ( 2) 由根與系數關系得 x1＋ x2＝－2 m5， x1 x2＝m2－ 15， 則弦長 l ＝ 1 ＋ k2| x1－ x2| ＝ ? 1 ＋ k2? [ ? x1＋ x2?2－ 4 x2 x1] ＝ 2[4 m225－4 ? m2－ 1 ?5] ＝2510 － 8 m2. 當 m ＝ 0 時， l 取得最大值為2 105. 53 例 3 ： 已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0 ) 的離心率為63，短軸一個端點到右焦點的距離為 3 . ( 1 ) 求橢圓 C 的方程； ( 2 ) 設直線 l 與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點，坐標原點 O 到直線 l 的距離為32，求 △ A O B 面積的最大值． 解 ： ( 1) 設橢圓的半焦距為 c ，依題意有????? ca＝63，a ＝ 3 ， ∴ b ＝ 1. ∴ 所求橢圓方程為x23＋ y2＝ 1. ( 2 ) 設 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ． ① 當 AB ⊥ x 軸 或 AB ∥ x 時， | AB |＝ 3 . 54 ② 當 AB 與 x 軸不垂直時，設直線 AB 的方程為 y ＝ kx ＋ m . 由已知| m |1 ＋ k2＝32，得 m2＝34( k2＋ 1) ． 把 y ＝ kx ＋ m 代入橢圓方程， 整理得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6 km x ＋ 3 m2－ 3 ＝ 0 ， ∴ x1＋ x2＝－ 6 km3 k2＋ 1， x1x2＝3 ? m2－ 1 ?3 k2＋ 1. ∴ | AB |2＝ (1 ＋ k2)( x2－ x1)2 ＝ (1 ＋ k2)????????36 k2m2? 3 k2＋ 1 ?2－12 ? m2－ 1 ?3 k2＋ 1 ＝12 ? k2＋ 1 ?? 3 k2＋ 1 － m2?? 3 k2＋ 1 ?2＝3 ? k2＋ 1 ?? 9 k2＋ 1 ?? 3 k2＋ 1 ?2 ＝ 3 ＋12 k29 k4＋ 6 k2＋ 1＝ 3 ＋129 k2＋1k2 ＋ 6 ( k ≠ 0) 55 ≤ 3 ＋122 3 ＋ 6＝ 4. 當且僅當 9 k2＝1k2 ，即 k ＝ 177。33時等號成立． 此時 Δ ＝ 1 2 ( 3 k2＋ 1 － m2) 0 ， | AB |＝ 2. 當 k ＝ 0 或不存在時， | AB |＝ 3 ， 綜上所述， | AB |m a x＝ 2. ∴ 當 | AB |最大時， △ A O B 面積取得最大值 S ＝12 | AB |m a x32＝32. 56 小結 解決圓錐曲線中的參數范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法： ( 1) 函數法：用其他變量表示該參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解． ( 2) 不等式法：根據題意建立含參數的不等關系式，通過解不等式求參數范圍． 57 例 2 斜率為 2 的直線 l 經過拋物線 y 2 ＝ 8 x 的焦點 F ，且與拋物線相交于 A 、 B 兩點，求線段 AB 的長． [ 思路 ] 方法一：直接求兩交點坐標，用兩點間距離公式計算弦長；方法二：設而不求，運用弦長公式和韋達定理計算弦長；方法三：設而不求，數形結合，活用定義，運用韋達定理，計算弦長． 58 [ 解答 ] 拋物線 y2＝ 8 x 的焦點坐標為 F ( 2,0 ) ． 方法一：設 l 方程為 y ＝ 2( x － 2) ，即 y ＝ 2 x － 4 ， 代入拋物線方程，得 (2 x － 4)2＝ 8 x ， 即 x2－ 6 x ＋ 4 ＝ 0 ，解得 x1＝ 3 － 5 ， x2＝ 3 ＋ 5 ， ∴ 對應的 y1＝ 2 － 2 5 ， y2＝ 2 ＋ 2 5 ， 即得 A 、 B 的坐標分別為 (3 － 5 ， 2 － 2 5 ) ， (3 ＋ 5 ， 2 ＋ 2 5 ) ． 由兩點間距離公式，即可得到 | AB |＝ 10. 59 方法二：設 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 x x2是方程 x2－6 x ＋ 4 ＝ 0 的兩個根， 于是 x1＋ x2＝ 6 ， x1x2＝ 4. 由 y ＝ 2 x － 4 得 y1－ y2＝ 2( x1－ x2) ． ∴ | AB | ＝ （ x1－ x2）2＋ （ y1－ y2）2＝x1－ x22＝ 5 （ x1＋ x2）2－ 4 x1x2＝ 5 36 － 16 ＝ 5 20 ＝1 0 . 60 方法三：如圖，由拋物線定義， | AF |＝ | AA1|＝ x1＋p2＝ x1＋ 2 ， | BF |＝ | BB1|＝ x2＋p2＝ x2＋ 2 ， ∴ | AB |＝ | AF |＋ | BF |＝ x1＋ x2＋ 4 ＝ 10. 61 [ 點評 ] 方法一和方法二是解決直線被圓錐曲線截得的弦長的一般方法．若能具體求出交點坐標，則用方法一計算弦長；若是交點坐標不易求出，或問題中含有參數，則用方法二，方法三利用拋物線的定義求解，若弦不經過焦點，則不能使用此法．如下面的變式題，就是用方法二求解的： 62 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的離心率 e ＝32，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為 4. ( 1) 求橢圓的方程； ( 2) 設直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 A ， B ，已知點 A 的坐標為 ( － a ,0) ．若 | AB |＝4 25，求直線 l 的傾斜角． [ 思路 ] ( 1 ) 由離心率和菱形面積得到兩個關于 a ， b 的方程，即可求出 a ， b ； ( 2 ) 利用弦長公式求解． 63 [ 解答 ] ( 1) 由 e ＝ca＝32，得 3 a2＝ 4 c2. 再由 c2＝ a2－ b2，解得 a ＝ 2 b . 由題意可知122 a 2 b ＝ 4 ，即 ab ＝ 2. 解方程組????? a ＝ 2 b ，ab ＝ 2 ，得 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，所以橢圓的方程為 x24＋ y2＝ 1. 64 ( 2) 由 ( 1) 可知點 A 的坐標是 ( － 2,0) ．設點 B 的坐標為 ( x1，y1) ，直線 l 的斜率為 k . 則直線 l 的方程為 y ＝ k ( x ＋ 2) ． 于是 A 、 B 兩點的坐標滿足方程組????? y ＝ k x ＋ ，x24＋ y2＝ 1.消去 y 并整理，得 (1 ＋ 4 k2) x2＋ 16 k2x ＋ ( 16 k2－ 4) ＝ 0. 由兩根之積得－ 2 x1＝16 k2－ 41 ＋ 4 k2，解得 x1＝2 － 8 k21 ＋ 4 k2. 從而 y1＝4 k1 ＋ 4 k2. 65 所以 | AB |＝????????－ 2 －2 － 8 k21 ＋ 4 k22＋????????4 k1 ＋ 4 k22＝4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2. 由 | AB |＝4 25，得4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2＝4 25. 整理得 32 k4－ 9 k2－ 23 ＝ 0 ，即 ( k2－ 1) ( 32 k2＋ 23) ＝ 0 ，解得 k ＝ 177。 1. 所以直線 l 的傾斜角為π4或3π4. 66 題型 二 ： 與圓錐曲線有關的軌跡問題 軌跡是動點按一定規(guī)律運動而形成的，軌跡的條件可以用動點坐標表示出來．求軌跡方程的基本方法是 (1) 直接法求軌跡方程：建立適當的直角坐標系，根據條件列出方程； (2) 待定系數法求軌跡方程：根據曲線的標準方程； ( 3) 定義法求軌跡方程：動點的軌跡滿足圓錐曲線的定義； ( 4) 代入法求軌跡方程：動點 M ( x ， y ) 取決于已知曲線 C 上的點 ( x 0 ，y 0 ) 的坐標變化，根據兩者關系，得到 x ， y ， x 0 ， y 0 的關系式，用 x ，y 表示 x 0 ， y 0 ，代入曲線 C 的方程． 67 課堂互動講練 例 1： (2022年高考北京卷 )已知 △ ABC的頂點 A，B在橢圓 x2＋ 3y2＝ 4上， C在直線 l： y＝ x＋ 2上，且AB∥ l. (1)當 AB邊通過坐標原點 O時，求 AB的長及△ ABC的面積； (2)當 ∠ ABC＝ 90176。 ，且斜邊 AC的長最大時，求AB所在直線的方程． 【思路點撥】 (1)首先由條件求出直線 AB的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關于 x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出弦長 |AB|，進而求出 △ ABC的面積； (2)首先用待定系數法設出直線 AB的方程，然后建