【正文】 4＋ y2＝ 1.消去 y 并整理，得 (1 ＋ 4 k2) x2＋ 16 k2x ＋ ( 16 k2－ 4) ＝ 0. 由兩根之積得－ 2 x1＝16 k2－ 41 ＋ 4 k2，解得 x1＝2 － 8 k21 ＋ 4 k2. 從而 y1＝4 k1 ＋ 4 k2. 65 所以 | AB |＝????????－ 2 －2 － 8 k21 ＋ 4 k22＋????????4 k1 ＋ 4 k22＝4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2. 由 | AB |＝4 25，得4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2＝4 25. 整理得 32 k4－ 9 k2－ 23 ＝ 0 ，即 ( k2－ 1) ( 32 k2＋ 23) ＝ 0 ，解得 k ＝ 177。 這時要注意考慮 a＝ 0和 a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除 a≠0， Δ＝ 0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，都只有一個交點 (此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況 ). 47 (1)通過方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式進行求解； (2)點差法，設(shè)出兩端點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求解； (3)中點轉(zhuǎn)移法，先設(shè)出一個端點的坐標(biāo)，再借助中點設(shè)出另一個端點的坐標(biāo)，而后消去二次項 . 48 利用弦長公式求解： 直線 l:y=kx+b與圓錐曲線交于 A（ x1,y1）、 B（ x2,y2），則弦長為 222 1 2 1221221 2 1 2122( ) ( )1( 1 ) [ ( ) 4 ]11A B x x y yk x xk x x x xyyk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?49 例 1： 過點 (0,2)與拋物線 只有一個公共點的直線有 ( ) （ A） 1條 (B)2條 (C)3條 (D)無數(shù)多條 xy 82 ? C . P 題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 50 題型 一： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例 2 ： 已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x ＋ m . ( 1 ) 當(dāng)直線與橢圓有公共點時，求實數(shù) m 的取值范圍； ( 2 ) 求被橢圓截得的最長弦的長度． [ 分析 ] ( 1 ) 直線與橢圓位置關(guān)系利用方程組解的情況來判斷，從方程角度看，當(dāng)直線與橢圓有公共點時，一元二次方程根的判別式 Δ ≥ 0 ； ( 2 ) 可以結(jié)合 ( 1 ) 的結(jié)論，利用弦長公式求解． 51 解 ： 由方程組????? 4 x2＋ y2＝ 1y ＝ x ＋ m，消去 y ，整理得 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1 ＝ 0. ( 1) ∵ 直線與橢圓有公共點， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20 ( m2－ 1) ＝ 20 － 16 m2≥ 0 ， 解之得：－52≤ m ≤52. 52 ( 2) 由根與系數(shù)關(guān)系得 x1＋ x2＝－2 m5， x16 152y B ． y ＝ 177。 ay ＝ 0 ，則可設(shè)雙曲線方程為 b2x2177。 ，求 △ F1PF2的面積 ⑵ 若 ∠ F1PF2=60176。遼寧高考）已知 F是拋物線 y2＝ x的焦點， A， B是該拋物線上的兩點， |AF|＋ |BF|＝ 3，則線段 AB的中點到 y軸的距離為 ( ) （ A） （ B） 1 （ C） （ D） 5474C C 13 1 、 如圖 所示，已知兩圓 A ： ( x ＋ 1)2＋ y2＝ 1 ， B ： ( x － 1)2＋ y2＝ 25 ，動圓 M 與圓 A 外切，與圓 B 內(nèi)切，求動圓 M 的圓心M 的軌跡方程． 練習(xí)一： 14 2 、 已知點 P 是橢圓x216＋y24＝ 1 上的位于第二象限的點，且點 P到橢圓左焦點 F 1 的距離為 2 ，則線段 PF 1 的中點 M 到橢圓中心的距離是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 C 15 作業(yè)： 1 、 一動圓與圓 ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 外切，又與圓 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為 ______________ __ ． x 24 －y 25 ＝ 1 ( x ≥ 2)16 例 2： 已知點 P 是橢圓 一點 ， F1和 F2 是橢圓的焦點 ， 192522 ?? yx⑴ 若 ∠ F1PF2=90176。 （ 3c,4） =25c2=0，所以 c2= A、 B. 又由 D中雙曲線的漸近線方程為 點 P不在其上，排除 D, 故選 C. (2)設(shè)橢圓方程為 因為離心率為 EP FP ?3yx4?? ，? ?2222xy 1 a b 0ab? ? ?＝ ．22，25 所以 解得 即 a2＝ 2b2. 又 △ ABF2的周長為｜ AB｜ +｜ AF2｜ +｜ BF2｜ ＝｜ AF1｜ +｜ BF1｜ +｜ BF2｜ +｜ AF2｜ ＝（｜ AF1｜ +｜ AF2｜） +（｜ BF1｜ +｜ BF2｜） ＝ 2a＋ 2a＝ 4a， 222b12a?? ，22b1a2＝ ，所以 4a＝ 16， a＝ 4，所以 所以橢圓方程為 答案： b 2 2＝ ，22xy 1.16 8? ＝22xy 1.16 8? ＝26 【想一想】 解答題 1的方法有哪些？解答題 2的關(guān)鍵點是什么？ 提示： （ 1）解答題 1可利用排除法，也可利用待定系數(shù)法直接求解 . （ 2）解答題 2的關(guān)鍵點是將過焦點的三角形的邊利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為與長軸長 2a的關(guān)系 . 27 例 2 ： ( 1) 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的 3倍，并且過點 P ( 3,0 ) ，求橢圓的方程； ( 2) 已知橢圓的中心在原 點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P 1 ( 6 ， 1) ， P 2 ( － 3 ，－ 2 ) ，求橢圓的方程． [ 思路 ] 題目沒有說明長軸所在的位置，解題時要分類討論，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法求解． 28 [ 解答 ] ( 1 ) 若交點在 x 軸上，設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) ． ∵ 橢圓過 P ( 3 , 0 ) ， ∴32a2＋02b2＝ 1 ， ∴ a ＝ 3. 又 2 a ＝ 3 2 b ， ∴ b ＝ 1 ，方程為x29＋ y2＝ 1. 若交點在 y 軸上，設(shè)方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0 ) ． ∵ 橢圓過點 P ( 3 , 0 ) ， ∴02a2＋32b2＝ 1 ， ∴ b ＝ 3. 又 2 a ＝ 3 2 b ＝ 18 ， ∴ a ＝ 9 ， ∴ 方程為y281＋x29＝ 1. ∴ 所求橢圓的方程為x29＋ y2＝ 1 或y281＋x29＝ 1. 29 ( 2) 設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 且 m ≠ n ) ． ∵ 橢圓經(jīng)過 P P2點，將 P1， P2兩點坐標(biāo)代入橢圓方程， 得????? 6 m ＋ n ＝ 1 ，3 m ＋ 2 n ＝ 1. 解得 m ＝19， n ＝13. ∴ 所求橢圓方程為x29＋y23＝ 1. [ 點評 ] 求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即確定 a 、 b 的值，需要根據(jù)已知條件確定兩個獨立的方程．求解時要注意： ( 1) 依據(jù)長軸所在的位置確立合適的方程形式，不能確定的要進行分類討論； ( 2 ) 當(dāng)橢圓過兩個已知點時，可以直接設(shè)為 mx2＋ ny2＝ 1 的形式，可以簡化運算． 30 1 、 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( 1) 兩焦點分別為 F 1 ( － 10 ,0 ) ， F 2 ( 10 ,0 ) ，點 P ( 8, 0) 在雙曲線上； ( 2) 已知雙曲線過 A ( － 6 2 ，－ 7) ， B ( 3, 2 7 ) 兩點，焦點在 y 軸上． [ 思路 ] ( 1) 根據(jù)雙曲線定義，可求出 a ，又 c ＝ 10 ，于是可求出 b ，從而求得雙曲線方程； ( 2) 設(shè)出雙曲線方程，將已知點坐標(biāo)代入方程，解方程組即可求得 a 、 b . 練習(xí)四： 31 [ 解答 ] ( 1) | PF1| ＝ （ ＋ 10 ）2＋ （ － ）2＝ 18 ， | PF2|＝ （ 8 － 10 ）2＋ （ － 0 ）2＝ 2 ， ∴ 2 a ＝ | PF1|－ | PF2|＝ 16 ， ∴ a ＝ 8 ，又 c ＝ 10 ， ∴ b2＝ c2－ a2＝ 36. ∵ 焦點在 x 軸上， ∴ 雙曲線方程為x264－y236＝ 1. ( 2) 根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為y2a2 －x2b2 ＝ 1 ， ∵ 兩點 A ( － 6 2 ，－ 7) ， B ( 3, 2 7 ) 在雙曲線上， ∴ 有????? 49a2 －72b2 ＝ 1 ，28a2 －9b2 ＝ 1 ， 解得 a2＝ 25 ， b2＝ 75 ， ∴ 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y225－x275＝ 1. 32 [ 點評 ] ( 1 ) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，一要考慮焦點所在的坐標(biāo)軸從而確定方程形式；二要根據(jù)兩個獨立條件求出 a b2. 并且注意 a 0 ， b 0 ， a2＋ b2＝ c2及它們的含義． (2) 在解題過程中要熟悉各元素 ( a ， b ， c ， e ) 之間的關(guān)系，做到靈活轉(zhuǎn)換，注意方程思想的使用．如果已知雙曲線 的漸近線： bx 177。福建高考）設(shè)圓錐曲線 C的兩個焦點分別為 F1， F2，若曲線 C上存在點 P滿足 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2，則曲線 C的離心率等于 ( ) （ A） （ B） （ C） （ D） 1322或1 22或2 23或2332或44 【解析】 選 |F1F2|＝ 2c(c0)， 由已知 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2， 得 且 |PF1||PF2|， 若圓錐曲線 C為橢圓，則 2a＝ |PF1|＋ |PF2|＝ 4c， 離心率 若圓錐曲線 C為雙曲線， 則 離心率 1284P F c P F c33＝ ， ＝ ，c1ea2＝ ＝ ；1242 a PF PF c3?＝ ＝ ，c3e .a2＝ ＝【歸納】 解答本題的注意點 . 提示： 解答本題對已知條件利用時，要分類討論，同時注意對橢圓及雙曲線定義的理解 . 45 例 2 ： 已知橢圓x23 m2 ＋y25 n2 ＝ 1 和雙曲線x22 m2 －y23 n2 ＝ 1 有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是 ( ) A ． x ＝ 177。34x 解析 由雙曲線方程判斷出公共焦點在 x 軸上， ∴ 橢圓焦點 ( 3 m2－ 5 n2， 0) ，雙曲線焦點 ( 2 m2＋ 3 n2， 0) ， ∴ 3 m2－ 5 n2＝ 2 m2＋ 3 n