【正文】 ＋ 4 k22＝4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2. 由 | AB |＝4 25，得4 1 ＋ k21 ＋ 4 k2＝4 25. 整理得 32 k4－ 9 k2－ 23 ＝ 0 ，即 ( k2－ 1) ( 32 k2＋ 23) ＝ 0 ，解得 k ＝ 177。6 ay ＝ 0 ，則可設(shè)雙曲線方程為 b2x2177。遼寧高考）已知 F是拋物線 y2＝ x的焦點， A， B是該拋物線上的兩點， |AF|＋ |BF|＝ 3，則線段 AB的中點到 y軸的距離為 ( ) （ A） （ B） 1 （ C） （ D） 5474C C 13 1 、 如圖 所示，已知兩圓 A ： ( x ＋ 1)2＋ y2＝ 1 ， B ： ( x － 1)2＋ y2＝ 25 ，動圓 M 與圓 A 外切，與圓 B 內(nèi)切，求動圓 M 的圓心M 的軌跡方程． 練習(xí)一： 14 2 、 已知點 P 是橢圓x216＋y24＝ 1 上的位于第二象限的點，且點 P到橢圓左焦點 F 1 的距離為 2 ，則線段 PF 1 的中點 M 到橢圓中心的距離是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 C 15 作業(yè)： 1 、 一動圓與圓 ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 外切，又與圓 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為 ______________ __ ． x 24 －y 25 ＝ 1 ( x ≥ 2)16 例 2： 已知點 P 是橢圓 一點 ， F1和 F2 是橢圓的焦點 ， 192522 ?? yx⑴ 若 ∠ F1PF2=90176。福建高考）設(shè)圓錐曲線 C的兩個焦點分別為 F1， F2，若曲線 C上存在點 P滿足 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2，則曲線 C的離心率等于 ( ) （ A） （ B） （ C） （ D） 1322或1 22或2 23或2332或44 【解析】 選 |F1F2|＝ 2c(c0)， 由已知 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2， 得 且 |PF1||PF2|， 若圓錐曲線 C為橢圓，則 2a＝ |PF1|＋ |PF2|＝ 4c， 離心率 若圓錐曲線 C為雙曲線， 則 離心率 1284P F c P F c33＝ ， ＝ ，c1ea2＝ ＝ ；1242 a PF PF c3?＝ ＝ ，c3e .a2＝ ＝【歸納】 解答本題的注意點 . 提示： 解答本題對已知條件利用時，要分類討論，同時注意對橢圓及雙曲線定義的理解 . 45 例 2 ： 已知橢圓x23 m2 ＋y25 n2 ＝ 1 和雙曲線x22 m2 －y23 n2 ＝ 1 有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是 ( ) A ． x ＝ 177。34x . 答案 D 46 直線與圓錐曲線 【技法點撥】 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解 的討論，即聯(lián)立方程組 通過消去 y(也可以消去 x)得到 x的方程 的形式 0( , ) 0A x B y Cf x y? ? ??? ??2 0ax bx c? ? ?并對方程進(jìn)行討論 。 浙江卷 ] 設(shè) O 為坐標(biāo)原點， F 1 ， F 2 是雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的焦點，若在雙曲線上存在點 P ，滿足 ∠ F 1 PF 2 ＝ 60176。 | PF2| ＝ 8 a2 在 △ PF1F2中，有余弦定理得 4 c2＝ | PF1|2＋ | PF2|2－2| PF1| 所在平分的弦被點求雙曲線 PQpyx )1,2(1222 ??(3) 84 變式題 一 ： 已知 A 、 B 是拋物線 C ： y2＝ 4 x 上的兩點，線段 AB的中點為 P (3,1) ，求線段 AB 的垂直平分線被拋物線截得的弦長． [ 思路 ] 利用點差法求出直線 AB 的斜率，于是得出線段 AB的垂直平分線的斜率，從而得出線段 AB 的垂直平分線的方程，然后用弦長公式求解． 85 [ 解答 ] 方法一：設(shè) A 、 B 的坐標(biāo)為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，直線 AB 的斜率為 k ，則有 y21＝ 4 x1， y22＝ 4 x2， 兩式相減，得 y21－ y22＝ 4 x1－ 4 x2，即 k ＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝4y1＋ y2. ∵ P ( 3,1) 是線段 AB 的中點， ∴ y1＋ y2＝ 2 ， ∴ k ＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝4y1＋ y2＝ 2. ∴ 線段 AB 的垂直平分線所在直線的斜率為 k1＝－12，方程為 y － 1 ＝－12( x － 3) ， 即 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0. 86 設(shè)該直線與拋物線交于 C ( x3， y3) ， D ( x4， y4) ， 將 y2＝ 4 x 代入 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 ，得 y2＋ 8 y － 20 ＝ 0 ， 則 y y4是上述方程的兩根． 于是 y3＋ y4＝－ 8 ， y3y4＝－ 20 ， ∴ | CD |＝??????1 ＋1k2 y 3 ＋ y 42－ 4 y3y4] ＝2＋ ＝ 12 5 . 即線段 AB 的垂直平分線被拋物線截得的弦長為 12 5 . 87 方法二：設(shè) A 、 B 的坐標(biāo)為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，當(dāng)直線AB 的斜率不存在時，點 P ( 3,1) 不是線段 AB 的中點，故直線AB 斜率存在．設(shè)直線 AB 方程為 y ＝ k ( x － 3) ＋ 1 ，代入拋物線方程，消去 x ，得 ky2－ 4 y － 12 k ＋ 4 ＝ 0 ，則 y1＋ y2＝4k，∴y1＋ y22＝2k＝ 1 ，得 k ＝ 2. 以下同方法一． 88 [ 點評 ] 方法一叫做點差法，方法二是常規(guī)方法，在解直線被拋物線截得的中點弦問題時，這兩種方法都比較簡便，若是解直線被橢圓或雙曲線截得的中點弦問題，則方法一較簡便． 如下的變式題用點差法較容易求解． 89 過橢圓x28＋y26＝ 1 內(nèi)一點 P (2,1) 作弦，若 P 是弦的中點，則該弦所在的直線方程是 ( ) A ． 2 x － 3 y ＋ 8 ＝ 0 B ． 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 C ． 3 x － 2 y ＋ 8 ＝ 0 D ． 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 [ 思路 ] 利用點差法求解． 90 D [ 解析 ] 設(shè)弦的端點坐標(biāo)為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，則有x218＋y216＝ 1 ，x228＋y226＝ 1. 兩方程相減，整理得 3( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ 4( y1－ y2)( y1＋ y2) ＝ 0 ， 即y1－ y2x1－ x2＝－（ x1＋ x2）4 （ y1＋ y2）. 由中點關(guān)系得 x1＋ x2＝ 4 ， y1＋ y2＝ 2 ， ∴y1－ y2x1－ x2＝－（ x1＋ x2）（ y1＋ y2）＝－32， 即弦所在的直線的斜率為－32， ∴ 弦所在的直線方程為 y － 1 ＝－32( x － 2) ，即 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0. 91 1 ．與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍的討論常用以下方法 ( 1 ) 結(jié)合圓錐曲線的定義，利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系； ( 2 ) 不等式 ( 組 ) 求解法，根據(jù)題意結(jié)合圖形 ( 如點在曲線內(nèi)等 ) 列出所討論的參數(shù)適合的不等式 ( 組 ) ，通過解不等式 ( 組 ) ，得出參數(shù)的變化范圍； ( 3 ) 函數(shù)值域求解法，把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，選一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍； ( 4 ) 構(gòu)造一個二次函數(shù)，利用判別式求解； ( 5 ) 利用不等式，若能將問題轉(zhuǎn)化為 “ 和為定值 ” 或 “ 積為定值 ” ，則可以用基本不等式求解； 題型 四： 定點、最值問題 92 2 ．定點和定值問題 ( 1) 定點問題的求解步驟： 一選參變量：需要證明過定點的動直線 ( 曲線 ) 往往隨著某一個量的變化而變化，可以選擇這個量為參變量 ( 當(dāng)涉及到的參變量較多時，也可以選擇多個參變量 ) ； 二求動直線 ( 曲線 ) 方程：求出含上述參變量的動直線 ( 曲線 )方程，并由其他條件減少參變量的個數(shù)，最終使方程中只含一個參變量； 三定點：求出定點坐標(biāo)．不妨設(shè)方程中所含參變量為 λ ，把方程寫為形如 f ( x ， y ) ＋ λg ( x ， y ) ＝ 0 的形式，然后解關(guān)于 x ， y的方程組????? （ x ， ） ＝ 0 ，g （ ， y ） ＝ 0 ，得到定點坐標(biāo)． 題型 四： 定點、最值問題 93 ( 2) 定值問題的求解步驟： 一選參變量：需要證明為定值的量在通常情況下應(yīng)該是一個變量，它會隨某個變量變化而變化，可選這個量為參變量( 有時可選多個參變量，再由其他條件消去多余的量，保留一個參變量 ) ； 二求函數(shù)解析式：把需要證明為定值的量表示成關(guān)于上述參變量的函數(shù)； 三定值：化簡函數(shù)解析式得到定 值．由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與參變量的變化無關(guān)，故求出的函數(shù)必為常數(shù)函數(shù)，所以只需對上述函數(shù)的解析式進(jìn)行必要的化簡即可得到定值． 題型 四： 定點、最值問題 94 題型 四： 定點、最值問題 例 1 ： 已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點，焦點在 x 軸上，橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為 3 ，最小值為 1. (1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 若直線 l ： y ＝ kx ＋ m 與橢圓 C 相交于 A 、 B 兩點 ( A 、 B 不是左右頂點 ) ，且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點，求證：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 95 解析 ： (1) 由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 且 a ＋ c ＝ 3 ， a － c ＝ 1 ， ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 1 ， ∴ b2＝ 3 ， ∴x24＋y23＝ 1. (2) 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由????? y ＝ kx ＋ mx24＋y23＝ 1， 96 得 (3 ＋ 4 k2) x2＋ 8 mkx ＋ 4( m2－ 3) ＝ 0 ， Δ ＝ 64 m2k2－ 16(3 ＋ 4 k2)( m2－ 3 )0,3 ＋ 4 k2－ m20. 又 x1＋ x2＝－8 mk3 ＋ 4 k2 ， x 1 18