【正文】 x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，當直線AB 的斜率不存在時，點 P ( 3,1) 不是線段 AB 的中點，故直線AB 斜率存在．設直線 AB 方程為 y ＝ k ( x － 3) ＋ 1 ，代入拋物線方程，消去 x ，得 ky2－ 4 y － 12 k ＋ 4 ＝ 0 ，則 y1＋ y2＝4k，∴y1＋ y22＝2k＝ 1 ，得 k ＝ 2. 以下同方法一． 88 [ 點評 ] 方法一叫做點差法，方法二是常規(guī)方法，在解直線被拋物線截得的中點弦問題時，這兩種方法都比較簡便，若是解直線被橢圓或雙曲線截得的中點弦問題，則方法一較簡便． 如下的變式題用點差法較容易求解． 89 過橢圓x28＋y26＝ 1 內(nèi)一點 P (2,1) 作弦，若 P 是弦的中點，則該弦所在的直線方程是 ( ) A ． 2 x － 3 y ＋ 8 ＝ 0 B ． 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 C ． 3 x － 2 y ＋ 8 ＝ 0 D ． 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 [ 思路 ] 利用點差法求解． 90 D [ 解析 ] 設弦的端點坐標為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，則有x218＋y216＝ 1 ，x228＋y226＝ 1. 兩方程相減，整理得 3( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ 4( y1－ y2)( y1＋ y2) ＝ 0 ， 即y1－ y2x1－ x2＝－（ x1＋ x2）4 （ y1＋ y2）. 由中點關系得 x1＋ x2＝ 4 ， y1＋ y2＝ 2 ， ∴y1－ y2x1－ x2＝－（ x1＋ x2）（ y1＋ y2）＝－32， 即弦所在的直線的斜率為－32， ∴ 弦所在的直線方程為 y － 1 ＝－32( x － 2) ，即 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0. 91 1 ．與圓錐曲線有關的最值和范圍的討論常用以下方法 ( 1 ) 結合圓錐曲線的定義，利用圖形中幾何量之間的大小關系； ( 2 ) 不等式 ( 組 ) 求解法，根據(jù)題意結合圖形 ( 如點在曲線內(nèi)等 ) 列出所討論的參數(shù)適合的不等式 ( 組 ) ，通過解不等式 ( 組 ) ，得出參數(shù)的變化范圍； ( 3 ) 函數(shù)值域求解法，把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，選一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍； ( 4 ) 構造一個二次函數(shù)，利用判別式求解； ( 5 ) 利用不等式，若能將問題轉化為 “ 和為定值 ” 或 “ 積為定值 ” ，則可以用基本不等式求解； 題型 四： 定點、最值問題 92 2 ．定點和定值問題 ( 1) 定點問題的求解步驟： 一選參變量：需要證明過定點的動直線 ( 曲線 ) 往往隨著某一個量的變化而變化，可以選擇這個量為參變量 ( 當涉及到的參變量較多時，也可以選擇多個參變量 ) ； 二求動直線 ( 曲線 ) 方程：求出含上述參變量的動直線 ( 曲線 )方程，并由其他條件減少參變量的個數(shù)，最終使方程中只含一個參變量； 三定點：求出定點坐標．不妨設方程中所含參變量為 λ ，把方程寫為形如 f ( x ， y ) ＋ λg ( x ， y ) ＝ 0 的形式，然后解關于 x ， y的方程組????? （ x ， ） ＝ 0 ，g （ ， y ） ＝ 0 ，得到定點坐標． 題型 四： 定點、最值問題 93 ( 2) 定值問題的求解步驟： 一選參變量：需要證明為定值的量在通常情況下應該是一個變量，它會隨某個變量變化而變化，可選這個量為參變量( 有時可選多個參變量，再由其他條件消去多余的量，保留一個參變量 ) ； 二求函數(shù)解析式：把需要證明為定值的量表示成關于上述參變量的函數(shù)； 三定值：化簡函數(shù)解析式得到定 值．由題目的結論可知要證明為定值的量必與參變量的變化無關，故求出的函數(shù)必為常數(shù)函數(shù)，所以只需對上述函數(shù)的解析式進行必要的化簡即可得到定值． 題型 四： 定點、最值問題 94 題型 四： 定點、最值問題 例 1 ： 已知橢圓 C 的中心在坐標原點，焦點在 x 軸上，橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為 3 ，最小值為 1. (1) 求橢圓 C 的標準方程； (2) 若直線 l ： y ＝ kx ＋ m 與橢圓 C 相交于 A 、 B 兩點 ( A 、 B 不是左右頂點 ) ，且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點，求證：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標． 95 解析 ： (1) 由題意設橢圓的標準方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 且 a ＋ c ＝ 3 ， a － c ＝ 1 ， ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 1 ， ∴ b2＝ 3 ， ∴x24＋y23＝ 1. (2) 設 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由????? y ＝ kx ＋ mx24＋y23＝ 1， 96 得 (3 ＋ 4 k2) x2＋ 8 mkx ＋ 4( m2－ 3) ＝ 0 ， Δ ＝ 64 m2k2－ 16(3 ＋ 4 k2)( m2－ 3 )0,3 ＋ 4 k2－ m20. 又 x1＋ x2＝－8 mk3 ＋ 4 k2 ， x 1 x 2 ＝4 ? m2－ 3 ?3 ＋ 4 k2 ， 所以 y1 y2＝ ( kx1＋ m ) ( kx2＋ m ) ＝ k2x1x2＋ mk ( x1＋ x2) ＋ m2 ＝3 ? m2－ 4 k2?3 ＋ 4 k2 . ∵ 以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點 D (2,0) ， 97 ∴ kAD kBD＝－ 1 ， 即y1x1－ 2y2x2－ 2＝－ 1 ， ∴ y1y2＋ x1x2－ 2( x1＋ x2) ＋ 4 ＝ 0 ， 3 m2－ 4 k23 ＋ 4 k2 ＋4 m2－ 33 ＋ 4 k2 ＋16 mk3 ＋ 4 k2 ＋ 4 ＝ 0 ， 7 m2＋ 16 mk ＋ 4 k2＝ 0 ， 解得 m1＝－ 2 k ， m2＝－2 k7，且滿足 3 ＋ 4 k2－ m20. 當 m ＝－ 2 k 時， l ： y ＝ k ( x － 2) ，直線過定點 (2,0) ，與已知矛盾； 當 m ＝－2 k7時， l ： y ＝ k ( x －27) ，直線過定點??????27， 0 . 綜上可知，直線 l 過定點，定點坐標為??????27， 0 . 98 . 2222( 2 ) 12 5 9( 1 ) 1 , | | .xyABx y A B?????是 橢 圓 上 任 意 一 點 ， 為 圓上 任 意 一 點 求 的 范 圍例 2:(1)求橢圓 上的點 22 194xy??① 與定點 (0,1)的最大距離； ② 與直線 2xy+10=0的最大距離。 99 22( 3 , 2 ) , ( 2 , 0 ) 131, | | | |2yA F xP P A F P???已 知 點 ， 在 雙 曲 線上 求 一 點例使3 ：最 小 .100 分類討論思想 【技法點撥】 分類討論思想的認識及應用 分類討論思想，實際上是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略 .分類討論時應注意理解和掌握分類的原則、方法和技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標準，不重不漏地討論 . 101 例 1： 橢圓的中心是坐標原點，長軸在 x軸上，離心率 已知點 到這個橢圓上點的最遠距離為 求這個橢圓方 程，并求橢圓上到點 P的距離為 的點的坐標 . 【解析】 設橢圓方程為 由 a2=b2+c2得 a=2b,故橢圓方程可化為 設 M（ x,y） 是橢圓上任意一點，則 x2=4b24y2. 3e,2?3P0,2() 7，2222xy 1 a b 0 ,ab?? （ ＞ ＞ ）22c 3 3e , c a ,a 2 4? ? ? ?2222xy 1 b 0 ,4 b b?? （ ＞ ）7102 ∵ b≤y≤b（討論 與［ b,b］間的關系）， 若 則當 時， 若 則當 y=b時， 2 2 2 2 2 2 2 2223 9 9P M x y 4b 4y y 3y 3y 3y 4b2 4 413 y 3 4b .2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?｜ ｜ （ ）（ ）121b,2?1y2?? 2m a xP M 3 4b 7 , b 1.? ? ? ? ?｜ ｜10 b ,2＜ ＜103 矛盾 . 綜上所述 b=1,故所求橢圓方程為 : 時， ∴ 橢圓上到 P點的距離為 的點有兩個，分別為 2m a x3P M b 7 ,23 3 1b 7 , b 7 b2 2 2? ? ?? ? ? ? ?｜ ｜ （ ）｜ ｜ 與 ＜2 2x y 1.4 ??m a xP M 7?｜ ｜ 1y , x 3 .2? ? ? ? ?7 1( 3 )2?， ，13.2??( ， )104 【思考】 分類討論解題的一般步驟是怎樣的？ 提示： 分類討論解題的一般步驟為： ① 確定分類標準及對象； ② 進行合理地分類； ③ 逐類進行討論； ④ 歸結各類結果 . 105 與雙曲線 有相同的焦點，則 a的值 是 ( ) （ A） 2 （ B） 1 （ C） （ D） 3 【解析】 選 與雙曲線 有相同的焦 點，所以有 0＜ a＜ 2且 4a2=a+2得 a2+a2=0，得 a=1. 222xy 14a??22xy 1a2??2222xy 14a??22xy 1a2??106 A（ 5,0）且與圓 x2+y210x11=0相外切的動圓的 圓心軌跡是 ( ) （ A） （ B） （ C） （ D） 22xy 1 x 31 6 9? ? ?（ ）22xy 1 x 39 1 6? ? ?（ ）22xy 1 x 39 1 6? ? ? ?（ ）22xy 1 x 31 6 9? ? ? ?（ ）107 【 解析 】 選 +y210x11=0化為標準形式是 （ x5） 2+y2=36， 則圓心為 B（ 5,0） ,半徑為 6， 設動圓的圓心為 M（ x,y） ， 則當兩圓外切時 ， 有｜ MB｜ =6+｜ MA｜ ， 則｜ MB｜ ｜ MA｜ =6， 符合雙曲線定義 ， M為雙曲線左支 ， 其中 2a=6,2c=10， 則 b=4， 所以雙曲線方程為 22xy 1 x 39 1 6? ? ? ?（ ） .108 4.（ 2022 新課標全國高考）等軸雙曲線 C的中心在原點，焦 點在 x軸上， C與拋物線 y2=16x的準線交于 A， B兩點， |AB|= 則 C的實軸長為 ( )