【正文】 ＝ 1. 若交點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0 ) ． ∵ 橢圓過(guò)點(diǎn) P ( 3 , 0 ) ， ∴02a2＋32b2＝ 1 ， ∴ b ＝ 3. 又 2 a ＝ 3 2 b ＝ 18 ， ∴ a ＝ 9 ， ∴ 方程為y281＋x29＝ 1. ∴ 所求橢圓的方程為x29＋ y2＝ 1 或y281＋x29＝ 1. 29 ( 2) 設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 且 m ≠ n ) ． ∵ 橢圓經(jīng)過(guò) P P2點(diǎn)，將 P1， P2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程， 得????? 6 m ＋ n ＝ 1 ，3 m ＋ 2 n ＝ 1. 解得 m ＝19， n ＝13. ∴ 所求橢圓方程為x29＋y23＝ 1. [ 點(diǎn)評(píng) ] 求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即確定 a 、 b 的值，需要根據(jù)已知條件確定兩個(gè)獨(dú)立的方程．求解時(shí)要注意： ( 1) 依據(jù)長(zhǎng)軸所在的位置確立合適的方程形式，不能確定的要進(jìn)行分類(lèi)討論； ( 2 ) 當(dāng)橢圓過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)時(shí)，可以直接設(shè)為 mx2＋ ny2＝ 1 的形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算． 30 1 、 根據(jù)下列條件，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( 1) 兩焦點(diǎn)分別為 F 1 ( － 10 ,0 ) ， F 2 ( 10 ,0 ) ，點(diǎn) P ( 8, 0) 在雙曲線(xiàn)上； ( 2) 已知雙曲線(xiàn)過(guò) A ( － 6 2 ，－ 7) ， B ( 3, 2 7 ) 兩點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上． [ 思路 ] ( 1) 根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，可求出 a ，又 c ＝ 10 ，于是可求出 b ，從而求得雙曲線(xiàn)方程； ( 2) 設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解方程組即可求得 a 、 b . 練習(xí)四： 31 [ 解答 ] ( 1) | PF1| ＝ （ ＋ 10 ）2＋ （ － ）2＝ 18 ， | PF2|＝ （ 8 － 10 ）2＋ （ － 0 ）2＝ 2 ， ∴ 2 a ＝ | PF1|－ | PF2|＝ 16 ， ∴ a ＝ 8 ，又 c ＝ 10 ， ∴ b2＝ c2－ a2＝ 36. ∵ 焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 雙曲線(xiàn)方程為x264－y236＝ 1. ( 2) 根據(jù)題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y2a2 －x2b2 ＝ 1 ， ∵ 兩點(diǎn) A ( － 6 2 ，－ 7) ， B ( 3, 2 7 ) 在雙曲線(xiàn)上， ∴ 有????? 49a2 －72b2 ＝ 1 ，28a2 －9b2 ＝ 1 ， 解得 a2＝ 25 ， b2＝ 75 ， ∴ 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y225－x275＝ 1. 32 [ 點(diǎn)評(píng) ] ( 1 ) 雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，一要考慮焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸從而確定方程形式；二要根據(jù)兩個(gè)獨(dú)立條件求出 a b2. 并且注意 a 0 ， b 0 ， a2＋ b2＝ c2及它們的含義． (2) 在解題過(guò)程中要熟悉各元素 ( a ， b ， c ， e ) 之間的關(guān)系，做到靈活轉(zhuǎn)換，注意方程思想的使用．如果已知雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)： bx 177。 ay ＝ 0 ，則可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 b2x2177。 a2y2＝ λ ( λ ≠ 0 ) ；如果雙曲線(xiàn)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)，則可設(shè)方程為 mx2＋ ny2＝ 1( mn 0 ) ． 33 求中心在原點(diǎn)，一條漸近線(xiàn)方程為 2 x － y ＝ 0 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( 2 ， 2) 的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． [ 思路 ] 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 b 2 x 2 177。 a 2 y 2 ＝ λ ( λ ≠ 0 ) 的形式． [ 解答 ] 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 4 x2－ y2＝ λ ( λ ≠ 0 ) ，將點(diǎn) ( 2 ， 2) 代入該方程，解得 λ ＝ 4 ，所以所求雙曲線(xiàn)方程為 4 x2－ y2＝ 4 ，即x2－y24＝ 1. 34 雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) P ( － 3 ， 1) 和 Q (2 ，－ 2 ) ，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． [ 思路 ] 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( mn 0 ) 的形式． [ 解答 ] 設(shè)方程為 mx2＋ ny2＝ 1( mn 0) ，將兩個(gè)已知點(diǎn)代入，得方程組????? 3 m ＋ n ＝ 1 ，4 m ＋ 2 n ＝ 1 ，解得 m ＝12， n ＝－12. 所以所求雙曲線(xiàn)方程為 x2－ y2＝ 2. 35 例 3 ： 求適合下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． ( 1) 求過(guò)點(diǎn) A ( 3,2 ) 的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程； ( 2) 拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向左．過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn) m 和準(zhǔn)線(xiàn) l 以及 x 軸構(gòu)成的等腰直角三角形的面積為 8. [ 思路 ] ( 1 ) 根據(jù)不同開(kāi)口方向，設(shè)不同的方程形式； ( 2 ) 方程可設(shè)為 y 2 ＝－ 2 px ( p 0 ) ，再根據(jù)面積求參數(shù) p 的值． [ 解答 ] ( 1) 因?yàn)?A ( 3,2) 在第一象限，所以?huà)佄锞€(xiàn)的開(kāi)口向右或向上． 當(dāng)開(kāi)口向右時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)方程為 y2＝ 2 px ( p 0) ，則有 4 ＝ 6 p ，∴ p ＝23，拋物線(xiàn)方程為 y2＝43x . 當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)方程為 x2＝ 2 py ( p 0) ，則有 9 ＝ 4 p ，∴ p ＝94，拋物線(xiàn)方程為 x2＝92y . 36 (2 ) 依題意設(shè)拋物線(xiàn)方程為 y2＝－ 2 px ( p 0 ) ，焦點(diǎn)為 F??????－p2， 0 . ∵ 過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn) m 和準(zhǔn)線(xiàn) l 以及 x 軸構(gòu)成的是等腰直角三角形， ∴ 直線(xiàn) m 的斜率為 1. 設(shè)直線(xiàn) m 與準(zhǔn)線(xiàn) l 交于點(diǎn) A ，準(zhǔn)線(xiàn) l 與 x 軸交于點(diǎn) P ， 如圖，可得各點(diǎn)的坐標(biāo)為 P??????p2， 0 ， A??????p2， p . ∴ S△ P A F＝12p2＝ 8 ，解得 p ＝ 4 ， ∴ 拋物線(xiàn)方程為 y2＝－ 8 x . [ 點(diǎn)評(píng) ] 求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定一個(gè)待定參數(shù)．具體求解時(shí)，要確定參數(shù) p 的值和開(kāi)口方向兩個(gè)條件，必要時(shí)要進(jìn)行討論． 37 已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn) C ，焦點(diǎn)在 x 軸上，直線(xiàn) x － y ＝ 0 與拋物線(xiàn) C 交于 A 、 B 兩點(diǎn)．若 P ( 2,2 ) 為 AB 的中點(diǎn)，則拋物線(xiàn) C 的方程為 ________________ ． y2＝ 4 x [ 解析 ] 由題意知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，所以可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為 y2＝ ax ( a ≠ 0) ． 將直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立????? y2＝ ax ，y ＝ x ，得 x2－ ax ＝ 0 ，解得 x1＝ 0 ， x2＝ a ，故 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0＝12( x1＋ x2) ＝12a ，由題意得12a ＝ 2 ，解得 a ＝ 4. 所以該拋物線(xiàn)的方程為 y2＝ 4 x . 38 例 4 ： 如圖，已知線(xiàn)段 AB ＝ 4 ，動(dòng)圓 O 1 與線(xiàn)段 AB 切于點(diǎn) C ，且AC － BC ＝ 2 2 ，過(guò)點(diǎn) A 、 B 分別作圓 O 1 切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn) P ，且 P 、 O 1 均在 AB 的同側(cè)，求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程． 解 ： 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則 A ( － 2,0) ， B ( 2,0) ，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得 | AC |－ | BC |＝ | PA |－ | PB | ＝ 2 2 4 ， ∴ 點(diǎn) P 的軌跡是以點(diǎn) A 、 B 為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支 ( 不包括頂點(diǎn) ) ． ∵ a ＝ 2 ， c ＝ 2 ， ∴ b2＝ 2. ∴ 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程是 x2－ y2＝ 2 ( x 2 ) ． 39 圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及應(yīng)用 【技法點(diǎn)撥】 圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)的求解方法 橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，主要指圖形的范圍、對(duì)稱(chēng)性，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、中心坐標(biāo)、離心率、準(zhǔn)線(xiàn)、漸近線(xiàn)以及幾何元素 a， b， c， e之間的關(guān)系等． 40 1．離心率 求離心率時(shí)一定要盡量結(jié)合曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)圖形，尋找與 a， b， c有 關(guān)的關(guān)系式 . 對(duì)于求橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，有兩種方法： （ 1）代入法就是代入公式 求離心率；（ 2）列方程法就 是根據(jù)已知條件列出關(guān)于 a,b,c的關(guān)系式 ，然后把這個(gè)關(guān)系式 整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e的方程，解方程即可求出 e值 . cea?41 解答范圍問(wèn)題時(shí)特別注意題中隱含的不等關(guān)系，如曲線(xiàn)方程中 x,y的范圍 .常用方法也有兩個(gè) . （ 1）解不等式法，即根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待求量的不等式，解不等式即得其取值范圍； （ 2）求函數(shù)值域法，即把待求量表示成某一變量的函數(shù)，函數(shù)的值域即為待求量的取值范圍 . 42 圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題主要有與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形面積等 .研究的常見(jiàn)途徑有兩個(gè)： （ 1）利用平面幾何中的最值結(jié)論； （ 2）把幾何量用目標(biāo)函數(shù)表示出來(lái)，再用函數(shù)或不等式知識(shí)求最值 .建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍 . 43 例 1：（ 2022福建高考）設(shè)圓錐曲線(xiàn) C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1， F2，若曲線(xiàn) C上存在點(diǎn) P滿(mǎn)足 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2，則曲線(xiàn) C的離心率等于 ( ) （ A） （ B） （ C） （ D） 1322或1 22或2 23或2332或44 【解析】 選 |F1F2|＝ 2c(c0)， 由已知 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2， 得 且 |PF1||PF2|， 若圓錐曲線(xiàn) C為橢圓，則 2a＝ |PF1|＋ |PF2|＝ 4c， 離心率 若圓錐曲線(xiàn) C為雙曲線(xiàn)， 則 離心率 1284P F c P F c33＝ ， ＝ ，c1ea2＝ ＝ ；1242 a PF PF c3?＝ ＝ ，c3e .a2＝ ＝【歸納】 解答本題的注意點(diǎn) . 提示： 解答本題對(duì)已知條件利用時(shí)，要分類(lèi)討論，同時(shí)注意對(duì)橢圓及雙曲線(xiàn)定義的理解 . 45 例 2 ： 已知橢圓x23 m2 ＋y25 n2 ＝ 1 和雙曲線(xiàn)x22 m2 －y23 n2 ＝ 1 有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 ( ) A ． x ＝ 177。152y B ． y ＝ 177。152x C ． x ＝ 177。34y D ． y ＝ 177。34x 解析 由雙曲線(xiàn)方程判斷出公共焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 橢圓焦點(diǎn) ( 3 m2－ 5 n2， 0) ，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn) ( 2 m2＋ 3 n2， 0) ， ∴ 3 m2－ 5 n2＝ 2 m2＋ 3 n2， ∴ m2＝ 8 n2， 又 ∵ 雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為 y ＝ 177。6 | n |2| m | x ， ∴ 代入 m2＝ 8 n2， | m |＝ 2 2 | n |，得 y ＝ 177。34x . 答案 D 46 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn) 【技法點(diǎn)撥】 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解 的討論，即聯(lián)立方程組 通過(guò)消去 y(也可以消去 x)得到 x的方程 的形式 0( , ) 0A x B