高二數(shù)學圓錐曲線的綜合應用-文庫吧
2025-10-09 18:19 本頁面
【正文】 1上一動點， O為坐 標原點， M為線段 OP的中點，則點 M的軌跡方程是 ________． 24x解析：設 P(x0， y0)， M(x， y)， ∴ x= ， y= ， ∴ 2x=x0,2y=y0， ∴ 4y2=1，即 x24y2=1. 02x02y244x x24y2=1 【 例 1】 已知定點 A(－ 2， )， F是橢圓 的右焦點，在橢圓上求一點 M，使 AM＋ 2MF取得最小值，并求此時 M點的坐標． 題型一 圓錐曲線的定義、標準方程及其幾何性質的綜合應用 32211 6 1 2xy??分析：點 A在橢圓內部，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將 M點到焦點的距離轉化為到相應準線的距離，再利用數(shù)形結合的方法求解． 經(jīng)典例題 解：橢圓 + =1中， a=4， c=2， e= ，記點 M到右準線的距離為 MN， 則 =e= ， MN=2MF，即 AM+2MF=AM+MN，又點 A在橢圓內部， 故當 A， M， N同時在垂直于右準線的一條直線上 時， AM+2MF取得最小值， 此時 My=Ay= ，代入到 + =1得 Mx=177。 2 ，而點 M在第一象限， ∴ M(2 ， 216x 212y 12MFMN 123216x212y3 3 3)變式 1－ 1 已知點 P為拋物線 y2＝ 4x上的動點，點 F為拋物線的焦點， M(2,1)，求使 PF＋ PM取得最小值時的 P點坐標 解：容易判斷點 M(2,1)在拋物線內部，過點 P向拋物線的準線 x=1作垂線，垂足為 Q，由拋物線的定義知 PQ=PF，則 PF+PM=PQ+PM，只要 Q、P、 M三點共線， PF+PM就取得最小值，所以 所求 P點坐標為 1,14??????【 例 2】 一動圓 C與定圓 A： x2＋ y2－ 6x－91＝ 0相切，且圓 C過點 B(－ 3,0)，求動圓圓心 C的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線． 題型二 有關動點的軌跡和軌跡方程的求解問題 分析：根據(jù)題意判斷兩圓相內切還是外切，再利用兩圓相切的充要條件建立等式，根據(jù)定義法確定曲線的類型，并寫出曲線方程． 解：設動圓圓心為 C(x， y)，半徑為 r，將圓 A的方程配方得： (x3)2+y2=100，由于點 B(3,0)在圓 A的內部，故動圓 C與定圓 A內切，且動圓 C在定圓 A的內部，所以 CA=10r， CB=r，兩式的兩邊分別相加，得CA+CB=10，由橢圓定義知點 C的軌
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