20xx年高考復(fù)習(xí)專題：圓錐曲線技巧總結(jié)(編輯修改稿)
2025-05-13 12:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PA⊥PB；（4）若AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過(guò)B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線?！ ∈?、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。練習(xí)：=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_(kāi)______（答：3）；十一、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。練習(xí)：（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；=－x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_(kāi)______（答：）；特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！十二．你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）。（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為； （5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則①；②（7）若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)13．動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：或）；②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為 （答：）；?、鄱x法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 （答：）；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ （答：）；(3) 一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）；④代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(kāi)_________（答：）；⑤參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡。（答：）；（2）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是____（答：）；（3）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是________（答：）；②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程
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