【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的軌跡 E 的方程為 2212 25xybb??. (2) 證明 在 2212 25xybb??中令 0y? 得 222xb? ,則不妨設(shè) 2 0 2 0B b D b（ ， ） ， （ ， ）, 于是直線 QB 的方程為 : 11( 2 )2yy x bxb??? , 直線 QD 的方程為 : 11( 2 )2yy x bxb? , 則 11112 2020 2b y b yMNx b x b?（ ， ） ， （ ， ）, 則以 MN 為直徑的圓的方程為 : 2 11112202 2b y b yx y yx b x b? ? ??（ ） （ ）, 令 0y? 得 : 222 112 2byx xb? ? ,而 11,Qx y（ ） 在 2212 25xybb??上 ,則 2 2 21122 25x b y?? , 于是 5xb?? ,即以 MN 為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn) ( 5 ,0), (5 ,0)bb? . 8.(2020 湖北卷理 )過(guò)拋物線 2 2 ( 0)y px p??的對(duì) 稱軸上一點(diǎn) ? ?? ?,0 0A a a ? 的直線與拋物線相交于 M、 N 兩點(diǎn)，自 M、 N 向直線 :l x a?? 作垂線，垂足分別為 1M 、 1N 。 （Ⅰ）當(dāng) 2pa? 時(shí)，求證： 1AM ⊥ 1AN ； （Ⅱ）記 1AMM? 、 11AMN? 、 1ANN? 的面積分別為 1S 、 2S 、 3S ，是否存在 ? ，使得對(duì)任意的 0a? ，都有 22 1 2S SS?? 成立。若存在，求出 ? 的值；若不存在，說(shuō)明理由。 解 依題意，可設(shè)直線 MN 的方程為 1 1 2 2, ( , ) , ( , )x m y a M x y N x y?? ， 則有 12( , ), ( , )M a y N a y?? 由2 2x my ay px???? ?? ，消去 x 可得 2 2 2 0y mpy ap? ? ? 從而有 121222y y mpy y ap???? ??? ① 于是 21 2 1 2( ) 2 2 ( )x x m y y a m p a? ? ? ? ? ? ② 又由 2112y px? ， 2122y px? 可得 2 2 21212 22() ( 2 )44yy apx x app?? ? ? ③ （ Ⅰ）如圖 1，當(dāng) 2pa? 時(shí)，點(diǎn) ( ,0)2pA 即為拋物線的焦點(diǎn)， l 為其準(zhǔn)線 2px?? 此時(shí)1 1 1 2( , ) , ( , ) ,22PPM y N y?? 并 由 ①可得 212y y p?? 證法 1： 1 1 1 2( , ) , ( , )A M p y A N p y? ? ? ?uuuuv uuuvQ 2 2 21 1 1 2 1 10,A M A N p y y p p A M A N? ? ? ? ? ? ? ?u u u uv u u u v 即 證法 2：1112,A M A NyyKKpp? ? ? ?Q 112121122 1,A M A N yy pK K A M A Npp? ? ? ? ? ? ? ?即 . (Ⅱ )存在 4?? ，使得對(duì)任意的 0a? ，都有 22 1 34S SS? 成立，證明如下： 證法 1：記直線 l 與 x軸的交點(diǎn)為 1A ,則 1OA OA a??。于是有 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 23 1 1 1 2 211 )221211 )22S M M A M x a yS M N AA a y yS N N A N x a y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（（ 2 1 3 1 2 1 1 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( )[ ( ) 4 ] [ ( ) ]S S S a y y x a y x a ya y y y y x x a x x a y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得 2 2 2 2 2 2 2( 4 8 ) 2 ( 2 4 ) 4 ( 2 )a m p a p a p a m p a a p m p a? ? ? ? ? 上式恒成立，即對(duì)任意 22 1 30, 4a S S S??成立 證法 2：如圖 2，連接 11,MN NM ,則由 21 2 1 12 , 2y y a p y p x? ? ?可得 11 2 2 21 1 1 2222 2O M O Ny p y p y ypKKx y y y a p a? ? ? ? ? ???,所以直線 1MN 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O， 同理可證直線 1NM 也經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 又 1OA OA a??設(shè) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2, , , ,M A h N A h M M d NN d? ? ? ?則 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 21 1 1, 2 ( ) ( ) , .2 2 2S d h S a h h a h h S d h? ? ? ? ? ? ? 9.（ 2020全國(guó)卷Ⅱ理） 已知橢圓 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 33 ，過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線 l 與 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) l 的斜率為 1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 l 的距離為 22 （ I）求 a ， b 的值； （ II） C 上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OP OA OB??成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l 的方程；若不存在，說(shuō)明理由。 解 (I）設(shè) ( ,0)Fc ，直線 :0l x y c? ? ? ，由坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 l 的距離為 22 則 | 0 0 | 222 c?? ?，解得 1c? .又 3 , 3 , 23ce a ba? ? ? ? ?. （ II）由 (I）知橢圓的方程為 22:132xyC ??.設(shè) 11( , )Ax y 、 B 22( , )xy 由題意知 l 的斜率為一定不為 0，故不妨設(shè) :1l x my?? 代入橢圓的方程中整理得 22( 2 3 ) 4 4 0m y m y? ? ? ?，顯然 0?? 。 由韋達(dá)定理有：12 24 ,23myy m? ? ? ?12 24 ,23yy m?? ?．．．．．．．．① .假設(shè)存在點(diǎn) P，使 OP OA OB??成立，則其充要條件為： 點(diǎn) 1 2 1 2P ( , )x x y y??的 坐 標(biāo) 為 ，點(diǎn) P 在橢圓上，即 221 2 1 2( ) ( ) 132x x y y????。 整理得 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 22 3 2 3 4 6 6x y x y x x y y? ? ? ? ? ?。 又 AB、 在橢圓上，即 2 2 2 21 1 2 22 3 6 , 2 3 6x y x y? ? ? ?. 故 1 2 1 22 3 3 0x x y y? ? ?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ② 將 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x m y m y m y y m y y? ? ? ? ? ? ?及①代入②解得 2 12m? 12 22yy? ? ? ?或, 12xx? = 224322 3 2mm? ? ??,即 32( , )22P ? . 當(dāng) 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y? ? ? ?時(shí) 。 當(dāng) 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y? ? ? ? ?時(shí) . 10.（ 2020福建卷理） 已知 A,B 分別為曲線 C： 22xa+ 2y =1（ y? 0,a0）與 x 軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線 l 過(guò)點(diǎn) B,且與 x 軸垂直， S 為 l 上 異于點(diǎn) B的一點(diǎn)，連結(jié) AS交曲線 C于點(diǎn) T.(1)若曲線 C為半圓，點(diǎn) T 為圓弧 AB 的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn) S 的坐標(biāo)；（ II）如圖，點(diǎn) M 是以 SB 為直徑的圓與線段 TB 的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在 a ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線？若存在，求出 a 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解 方 法一 (Ⅰ )當(dāng)曲線 C 為半圓時(shí)， 1,a? 如圖，由點(diǎn) T 為圓 弧 AB 的三等分點(diǎn)得∠ BOT=60176。或 120176。 . (1)當(dāng)∠ BOT=60176。時(shí) , ∠ SAE=30176。 . 又 AB=2,故在△ SAE 中 ,有 ta n 3 0 , ( , ) 。S B A B s t? ? ? ?