20xx年高考文科數(shù)學(xué)試題分類解析之圓錐曲線(編輯修改稿)
2024-12-07 17:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)，所以12p，即2p. 15【答案】144 2 ??yx 因?yàn)?1C的方程為14 22 ??yx，所以 1C的一條漸近線的斜率211?k，所以 2的一條漸近線的斜率1?k，因?yàn)殡p曲線 2的頂點(diǎn)重合，即焦點(diǎn)都在 x軸上， 設(shè) 2C的方程為)0,0(12222 ???? babyax， 所以2??ba，所以 2C的方程為144 22 ??y. 16【答案】23?雙曲線221xyaa??的右焦點(diǎn)為(,0)c.不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線byxa平行，其方程為()by x ca??，代入221求得點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為2acx c?，由22acac? ?，得2) 4 1 0cc? ? ?，解之得23c??，23ca??（舍去，因?yàn)殡x心率1ca?），故雙曲線的離心率為?. 17【答案】（ Ⅰ ）255 （ Ⅱ ）詳見解析 . 【解析】（ Ⅰ ）解：由題設(shè)條件知，點(diǎn))31,3( baM，又105?OMk從而1052ab. 進(jìn)而bbacba 2,5 22 ????，故552?? ace. （ Ⅱ ）證：由N是AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為?????? ?2,2 ba，可得??????? 65,6 baNM. 又? ?baAB ,??，從而有? ?2222 5616561 abbaNMAB ????? 由（ Ⅰ ）得計(jì)算結(jié)果可知,5 22 ba所以0??NMAB，故ABMN?. 18【答案】（ I）63；（ II） 1；（ III） 直線 ??與直線 D?平行 . 【解析】（Ⅰ）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2 13x y??. 所以3a?，1b，2c?. 所以橢圓C的離心率63ce a??. （Ⅱ）因?yàn)???過點(diǎn)(1,0)D且垂直于 x軸，所以可設(shè)1(1, )Ay，1(1, )By?. 直線 ??的方程為11 (1 )( 2)y y x? ? ? ?. 令3x?，得1(3,2 )My?. 所以直線 ??的斜率112 131BM yyk ?????. （Ⅲ）直線 與直線 D?平行 .證明如下： 當(dāng)直線 ??的斜率不存在時(shí)，由（Ⅱ）可知1BMk ?. 又因?yàn)橹本€ ?的斜率10121DEk ??，所以//DE. 當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為( 1)( 1)y k x k? ? ?. 設(shè)11( , )Ax y，22( , )Bx y，則直線 ??的方程為11 ( 2)2yyxx ?? ? ??. 令3x?，得點(diǎn)1113(3, )2yxM x???. 由2233( 1)xyy k x? ??? ???，得2 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x k x k? ? ? ? ?. 所以212 2613kxx k???，2213kxx k? ?. 直線 ??的斜率11 212323BMyx yxkx?? ????. 因?yàn)? 1 1 1 2 121( 1 ) 3 ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 2)1 ( 3 ) ( 2)BM k x x k x x x xk xx? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 1 2 1 221( 1 ) [ 2( ) 3 )( 3 ) ( 2)k x x x xxx? ? ? ? ?? ?? 2222213 3 12( 1 ) [ 3 )1 3 1 3( 3 ) ( 2)kkkkxx??? ? ??? 0?， 所以1BM DEkk??. 所以//BM DE. 綜上可知，直線 ??與 直線 D?平行 . 19【答案】 （Ⅰ ）2 4yx?；（Ⅱ）詳見解析． 【解析】解法一：（ I）由拋物線的定義得F22p? ? ?． 因?yàn)镕3??，即232p??，解得p?，所以拋物線 ?的方程為2 4yx?． （ II）因?yàn)辄c(diǎn)? ?2,m?在拋物線 :?2 4?上， 所以22m??，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)? ?2,2 2?． 由? ?2,，? ?F1,0可得直線 F?的方程為? ?2 2 1??． 由? ?2 2 14??????，得22 5 2 0xx? ? ?， 解得x?或12x?，從而1,22????????． 又? ?G 1,0?， 所以? ?G 2 2 0 2 22 1 3k ? ?????，? ?G2 0 2 21312k ???? ? ???， 所以GG0kk????，從而GF GF?? ? ??，這表明點(diǎn) F到直線G，?的距離相等， 故以 F為圓心且與直線G?相切的圓必與直線G?相切． 解法二：（ I）同解法一． （ II）設(shè)以點(diǎn) 為圓心且與直線 相切的圓的半徑為 r． 因?yàn)辄c(diǎn)? ?2,m?在拋物線 :?2 4yx?上， 所以22m??，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)? ?2,2 2?． 由? ?2,，? ?F1,0可得直線 F?的方程為? ?2 2 1??． 由? ?22 14??????，得22 5 2 0xx? ? ?， 解得2x?或12x?，從而1,22????????． 又? ?G 1,0?，故直線G?的方程為2 3 2 2 0xy? ? ?， 從而2 2 2 2 428 9 17r????． 又直線G?的方程為2 2 3 2 2 0? ?， 所以點(diǎn) F到直線 的距離2 2 2 2 428 9 17dr?? ? ??． 這表明以點(diǎn) 為圓心且與直線G?相切的圓必與直線G?相切． 20【答案】（ Ⅰ ） 4xy??（ Ⅱ ）當(dāng)直線 l與橢圓 C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ?的面積取得最小值 8. 【解析】（ Ⅰ ）因?yàn)閨 | | | | | 3 1 4O M M N NO? ? ? ? ?，當(dāng),MN在 x 軸上時(shí)，等號(hào)成立；同理| | | | | | 3 1 2O M M N NO? ? ? ? ?，當(dāng),DO重合，即 MN x?軸時(shí)，等號(hào)成立 . 所以橢圓 C 的中心為原點(diǎn) O，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 4，短半軸長(zhǎng)為 2，其方程為 4xy?? （ Ⅱ ）（ 1）當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，直線 l為 4x?或 4x??，都有1 4 4 82OPQS? ? ? ? ?. （ 2）當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1: ( )2l y kx m k? ? ? ?， 由,4 16,y kx m????? 消去y，可得2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x km x m? ? ? ? ?.因?yàn)橹本€ l總與橢圓 C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以2 2 2 264 4( 1 4 ) ( 4 16) 0k m k m? ? ? ? ? ?，即2216 4mk??. ① 又由,2 0,y kx mxy???? ??? 可得2( , )1 2 1 2mmP kk??；同理可得2( , )1 2 1 2mmQ ???.由原點(diǎn) O到直線PQ的距離為2||1md k? ?和2| | 1 | |PQPQ k x x? ? ?，可得 221 1 1 2 2 2| | | || | | |2 2 2 1 2 1 2 1 4O P Q P Q m m mS P Q d m x x m k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?. ② 將 ① 代入 ② 得，
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