【文章內(nèi)容簡介】 =22，故 AF= 2 。 由 AB AD AG BD? ? ?得 2AD= 222 .23 AD ?，解得 AD= 2 。 故 AD=AF。又 AD⊥ AF，所以四邊形 ADEF為正方形。 因為 BC⊥ AF， BC⊥ AD， AF∩ AD=A，故 BC⊥平面 DEF，因此平面 BCD⊥平面 DEF。 連接 AE、 DF，設(shè) AE∩ DF=H，則 EH⊥ DF， EH⊥平面 BCD。 連接 CH，則∠ ECH為 1BC與平面 BCD所成的角。 w. . . c. 因 ADEF為正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=112BC=2， 所以∠ ECH=300，即 1BC與平面 BCD所成的角為 300. 解法二： （Ⅰ）以 A為坐標原點，射線 AB為 x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系 A— xyz。 設(shè) B（ 1， 0， 0）， C（ 0， b， 0）， D（ 0， 0， c），則 1B （ 1， 0， 2c） ,E（ 12 ， 2b ， c） . A C B A1 B1 C1 D E 于是 DE? =（ 12，2b， 0）， BC? =（ 1， b,0） .由 DE⊥平面 1BCC 知 DE⊥ BC， DEBC??? =0，求得 b=1，所以 AB=AC。 （Ⅱ）設(shè)平面 BCD 的法向量 ( , , ),AN x y z? ? 則 0 , 0 .A N B C A N B D? ? ? ?? ? ? ? 又 BC? =（ 1， 1， 0）， BD? =（ 1， 0， c） ,故 00xyx cz? ? ???? ? ?? 令 x=1, 則 y=1, z=1c ,AN? =(1,1, 1c ). 又平面 ABD 的法向量 AC =（ 0， 1， 0） 由二面角 CBDA ?? 為 60176。 知， ACAN， =60176。 ， 故 60c os???? ACANACAN 176。 ，求得21c? 于是 ），（ 211?AN ， ）， 211(1 ??CB 21c o s 111 ???? CBAN CBANCBAN ， 601 ?CBAN，176。 所以 CB1 與平面 BCD 所成的角為 30176。 5. （ 2020 江蘇卷） （本小 題滿分 14 分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， E 、 F 分別是 1AB 、1AC 的中點，點 D 在 11BC 上， 11AD BC? 。 求證：（ 1） EF∥平面 ABC； （ 2）平面 1AFD ? 平面 11BBCC . 【 解析 】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分 14 分。 6. （ 2020安徽卷 文 ） （本小題滿分 13 分） 如圖， ABCD 的邊長為 2 的正方形，直線 l 與平面 ABCD平行， G和 F式 l 上的兩個不同點，且 EA=ED， FB=FC， 和 是平面 ABCD內(nèi)的兩點， 和 都與平面 ABCD垂直， （Ⅰ）證明：直線 垂直且平分線段 AD： . w. k. . o. m （Ⅱ）若∠ EAD=∠ EAB=60176。， EF=2，求多面 體 ABCDEF的體積。 【思路】根據(jù)空間線面關(guān)系可證線線垂直，由分割法可求得多面體體積 ，體現(xiàn)的是一種部分與整體的基本思想。 【解析】 (1)由于 EA=ED 且 39。 39。 39。ED ABC D E D E C? ? ?面 ?點 E39。 在線段 AD 的垂直平分線上 ,同理點 F39。 在線段 BC的垂直平分線上 . 又 ABCD 是四方形 ?線段 BC 的垂直平分線也就是線段 AD 的垂直平分線 即點 E39。 F39。 都居線段 AD 的垂直平分線上 . w. w. . 所以 ,直線 E39。 F39。 垂直平分線段 AD. (2)連接 EB、 EC 由題意知多面體 ABCD 可分割成正四棱錐 E— ABCD 和正四面體 E— BCF 兩部分 .設(shè) AD 中點為 M,在 Rt△ MEE39。 中 ,由于 ME39。 =1, 3 39。 2ME EE? ? ?. EV? — ABCD 21 1 4 239。 2 23 3 3S A B C D E E? ? ? ? ? ? ?四 方 形 又 EV — BCF=VC－ BEF=VC－ BEA=VE－ ABC 21 1 1 2 239。 2 23 3 2 3ABCS E E? ? ? ? ? ? ? ?多面體 ABCDEF 的體積為 VE— ABCD＋ VE— BCF=22 7. （ 2020 江西卷文） （本 小題滿分 12 分） 如圖，在四棱錐 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形， PA?平面 ABCD ， 4PA AD??， 2AB? ． 以 BD 的中點 O為球心、 BD 為直徑的球面交 PD 于點 M ． （ 1）求證：平面 ABM ⊥平面 PCD ； （ 2）求直線 PC 與平面 ABM 所成的角； （ 3）求點 O 到平面 ABM 的距離 ． 解： 方法（一）： OAPBCMD（ 1）證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ . 因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ . （２）設(shè)平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點Ｎ，因為ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則Ａ Ｂ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則 MN 是 PN 在平面 ABM上的射影， 所以 PNM? 就是 PC 與平面 ABM 所成的角， 且 PNM PCD? ? ? ta n ta n 2 2PDP N M P C D DC? ? ? ? ? 所求角為 arctan2 2 （ 3）因為 O 是 BD的中點，則 O 點到平面 ABM 的距離等于 D點到平面 ABM 距離的一半，由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于 M，則 |DM|就是 D 點到平面 ABM 距離 . 因為在 Rt△ PAD 中， 4PA AD??， PD AM? ，所以 M 為 PD 中點， 22DM? ，則O 點到平面 ABM 的距離等于 2 。 方法二： （ 1）同方法一； （ 2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 設(shè)平面 ABM 的一 個法向量 ( , , )n x y z? ，由 ,n AB n AM??可得： 20220xyz??? ???，令1z?? ，則 1y? ，即 (0,1, 1)n??.設(shè)所求角為 ? ，則 22sin3PC nPC n????， 所求角的大小為 22arcsin 3 . （ 3）設(shè)所求距離為 h ，由 (1, 2 , 0 ), (1, 2 , 0 )O AO ?，得： 2AO nhn??? 8. （ 2020 四川卷文） （本小題滿分 12分） 如圖，正方形 ABCD 所在平面與平面四邊形 ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形， , , 45A B A E F A F E A E F ?? ? ? ? ONAPBCMDzxy（ I）求證： EF BCE? 平 面 ； （ II）設(shè)線段 CD 、 AE 的中點分別為 P 、 M ，求證： PM ∥ BCE平 面 （ III）求二面角 F BD A??的大小。 【解析】 解法一： 因為平面 ABEF⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD， BC⊥ AB，平面 ABEF∩平面 ABCD=AB， 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥ EF. 因為⊿ ABE為等腰直角三角形， AB=AE， 所以∠ AEB=45176。， 又因為∠ AEF=45, 所以∠ FEB=90176。，即 EF⊥ BE. 因為 BC? 平面 ABCD, BE? 平面 BCE, BC∩ BE=B 所以 EF BCE? 平 面 ???????????????? 6分 （ II） 取 BE的中點 N,連結(jié) CN,MN,則 MN 12AB PC ∴ PMNC為平行四邊形 ,所以 PM∥ CN. ∵ CN在平面 BCE內(nèi) ,PM不在平面 BCE內(nèi) , ∴ PM∥平面 BCE. ??????????? ????? 8分 （ III） 由 EA⊥ AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥ AB,交 BA的延長線于 G,則 FG∥ FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥ BD于 H,連結(jié) FH,則由三垂線定理知 BD⊥ FH. ∴ ∠ FHG為二面角 FBDA的平面角 . ∵ FA=FE,∠ AEF=45176。 , ∠ AEF=90176。 , ∠ FAG=45176。 . 設(shè) AB=1,則 AE=1,AF= 22 ,則 1FG AF sin FAG 2? ? ? 在 Rt⊿ BGH中 , ∠ GBH=45176。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ???????????????? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以 ABAE? 又因為平面 ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ， 所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ， )0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF ， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi)， 故 PM ∥平面 BCE （ III）設(shè)平面 BDF 的一個法向量為 1n ，并設(shè) 1n ＝（ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( ???? BFBD ?????????0011BFnBDn 即??????????021230zyyx 取 1?y ，則 1?x ， 3?z ，從而 1n ＝（ 1， 1， 3） 取平面 ABD D的一個法向量為 )1,0,0(2 ?n 11 1131113c o s 21 2121 ????????nnnnnn 、