【導(dǎo)讀】①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是（）。C此題主要考查立體幾何的線面、面面的位置關(guān)系，通過(guò)對(duì)平行和垂直的考查，對(duì)于A、B、D均可能出現(xiàn)//l?的底面邊長(zhǎng)為1，1AB與底面ABCD. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.反過(guò)來(lái)則不一定.所以“???”中，1AA=2AB，E為1AA重點(diǎn)，解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE. 即可，易知EB=2,A'E=1,A'B=5,故由余弦定理求cos∠A'BE=31010，或由向量法可求。D.異面直線PM與BD所成的角為45. 故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；綜上C是錯(cuò)誤的，故選C.的底面是正六邊形，也不成立；BC∥AD∥平面PAD,∴直線BC∥PAE平面也不成。，球心O到平面ABC的距離是223，則CB、，AC＝32，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是。的面積與的面積相等

　　

【正文】 設(shè) AB=1,則 AE=1,AF= 22 ,則 1FG AF sin FAG 2? ? ? 在 Rt⊿ BGH中 , ∠ GBH=45176。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以ABAE? 又因?yàn)槠矫?ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ，所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平 面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi)， 故 PM ∥平面 BCE （ III）設(shè)平面 BDF 的一個(gè)法向量為 1n ，并設(shè) 1n ＝（ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( ???? BFBD ?????????0011BFnBDn 即??????????021230zyyx 取 1?y ，則 1?x ， 3?z ，從而 1n ＝（ 1， 1， 3） 取平面 ABD D的一個(gè)法向量為 )1,0,0(2 ?n 11 1131113c o s 21 2121 ????????nnnnnn 、 故 二面角 F BD A??的大小 為 11113arccos 14. （ 2020 陜西卷文） (本小題滿分 12 分 ) 如圖，直 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB=1， 1 3AC AA??，∠ ABC=600 . (Ⅰ )證明： 1AB AC? ； （Ⅱ）求二面角 A— 1AC — B 的大小。 解析 ： 解答 1（ Ⅰ ） C B A C1 B1 A1 因?yàn)槿庵?1 1 1ABC ABC? 為 直三棱柱 所以 1AB AA? 在 ABC 中 1AB? 0, 3 , 6 0A C A B C? ? ? 由正弦定理得 030ACB??所以 090BAC?? 即 AB AC? ，所以 1 ,AB ACC A? 又因?yàn)?1 1 1AC ACC A? 所以 1AB AC? （Ⅱ ） 如圖所示，作 1AD AC? 交 1AC 于 D ，連 BD ，由三垂線定理可得 1BD AC? 所以 ABD? 為所求角，在 1Rt AAC? 中， 113 3 626A A A CAD AC? ? ?g g，在 Rt BAD? 中，ta n 63ABABD AD?? ，所以 ta n 63ADB arc?? 2 2 2 2 2 23 1 1 0 1 0 1 5c o s , 53 1 1 1 0 0mnmn mn ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ggg（ ） 所以 1AACB 所成角是 15arccos 5 15. （ 2020寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， ⊿ PAB 是等邊三角形， ∠ PAC=∠ PBC=90 186。 （ Ⅰ ）證明： AB⊥ PC （ Ⅱ ）若 4PC? ， 且平面 PAC ⊥ 平面 PBC ， 求三棱錐 P ABC? 體積。 （ 18）解： （ Ⅰ）因?yàn)?PAB? 是等邊三角形， 90PA C PB C? ? ? ? ?, 所以 Rt PB C Rt PA C? ? ?,可得 AC BC? 。 如圖，取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD ,CD , 則 PD AB? ,CD AB? , 所以 AB? 平面 PDC , 所以 AB PC? 。 ．．．．．． 6分 （Ⅱ）作 BE PC? ，垂足為 E ，連結(jié) AE ． 因?yàn)?Rt PB C Rt PA C? ? ?， 所以 AE PC? ， AE BE? ． 由已知，平面 PAC ? 平面 PBC ，故 90AEB? ? ? ． ．．．．．． 8分 因?yàn)?Rt AE B Rt PE B? ? ?， 所以 ,AEB PEB CEB???都是等腰直角三角形。 由已知 4PC? ，得 2AE BE??， AEB? 的面積 2S? ． 因?yàn)?PC ? 平面 AEB ， 所以三角錐 P ABC? 的體積 1833V S PC? ? ? ? ． ．．．．．． 12分 16. （ 2020福建卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，平行四邊形 ABCD 中， 60DAB ???， 2, 4AB AD??將 CBD? 沿 BD 折起到 EBD? 的位置，使平面 EDB? 平面 ABD （ I）求證： AB DE? （Ⅱ）求三棱錐 E ABD? 的側(cè)面積。 （ I）證明：在 ABD? 中， 2 , 4 , 6 0A B A D D A B ?? ? ? ? 222 2 22 2 c o s 2 3,B D A B A D A B A D D A BA B B D A D A B D E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 又 平面 EBD? 平面 ABD 平面 EBD 平面 ,ABD BD AB??平面 ABD AB??平面 EBD DF? 平面 ,EBD AB DE?? （Ⅱ）解：由（ I）知 , / / , ,AB BD C D AB C D BD? ? ?從而 DE D? 在 RtDBE? 中， 2 3 , 2D B D E D C A B? ? ? ? 1 232ABES D B D E?? ? ? ? 又 AB? 平面 ,EBDBE? 平面 ,EBD AB BE?? 14 , 42ABEB E B C A D S A B B E?? ? ? ? ? ? ? ,DE BD? 平面 EBD? 平面 ABD ED??，平面 ABD 而 AD? 平面 1, , 42A D EA B D E D A D S A D D E?? ? ? ? ? ? 綜上，三棱錐 E ABD? 的側(cè)面積， 8 2 3S?? 17. （ 2020 重慶卷文） （本小題滿分 13 分，（ Ⅰ ）問(wèn) 7 分，（ Ⅱ ）問(wèn) 6 分） 如題（ 18）圖，在五面體 ABCDEF 中， AB ∥ DC ， 2BAD ???， 2CD AD??，四邊形 ABFE 為平行四邊形， FA? 平面 ABCD ， 3, 7FC ED??．求： （ Ⅰ ）直線 AB 到平面 EFCD 的距離； （ Ⅱ ）二面角 F AD E??的平面角的正切值． 解法一 : （ Ⅰ ） ,AB DC DC ?平面 EFCD , ?AB 到面EFCD 的距離等于點(diǎn) A 到面 EFCD 的距離，過(guò)點(diǎn) A 作AG FD? 于 G ，因 2BAD ???AB ∥ DC ，故CD AD? ；又 FA? 平面 ABCD ，由三垂線定理可ABC DEFxyzG知， CD FD? ，故 CD FAD? 面 ，知 CD AG? ，所以 AG 為所求直線 AB 到面 EFCD 的距離。 在 Rt ABC△ 中， 22 9 4 5F D F C CD? ? ? ? ? 由 FA? 平面 ABCD，得 FA? AD ，從而在 Rt△ FAD 中，22 5 4 1F A F D A D? ? ? ? ? ? 2 2 555F A A DAG FD?? ? ?。即直線 AB 到平面 EFCD 的距離為 255 。 （ Ⅱ ）由己知， FA? 平面 ABCD ，得 FA? AD，又由 2BAD ???，知 AD AB? ，故 AD? 平面 ABFE ?DA AE? ，所以， FAE? 為二面角 F AD E??的平面角，記為 ? . 在 Rt AED△ 中 , 22 7 4 3A E E D A D? ? ? ? ?,由 ABCD 得 , FE BA ,從而2AFE ??? 在 Rt AEF△ 中 , 22 3 1 2F E A E A F? ? ? ? ? ,故 tan 2FEFA? ?? 所以二面角 F AD E??的平面角的正切值為 2 . 解法二 : （ Ⅰ ）如圖以 A 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) , ,AB AD AF 的方向?yàn)?xyz 的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù) ,則 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè) 00(0, 0, ) ( 0)F z z ?可得 0(2, 2, )FC z??,由| | 3FC? .即 2 2 202 2 3z? ? ?,解得 (0,0,1)F AB ∥ DC ， DC? 面 EFCD ,所以直線 AB 到面 EFCD 的距離等于點(diǎn) A 到面 EFCD 的距離。設(shè) A點(diǎn)在平面 EFCD 上的射影點(diǎn)為 1 1 1( , , )G x y z ,則 1 1 1( , , )AG x y z? 因 0AG DF??且0AG CD??,而 (0, 2,1)DF ?? ( 2,0,0)CD ?? ,此即 1112020yzx? ? ?????? 解得 1 0x? ① ,知 G 點(diǎn)在 yoz 面上 ,故 G 點(diǎn)在 FD 上 . GF DF , 1 1 1( , , 1)G F x y z? ? ? ? ?故有 1 1 12y z?? ? ② 聯(lián)立① , ②解得 , 24(0, , )55G w. w. w. k. . ?||AG 為直線 AB 到面 EFCD 的距離 . 而 24(0, , )55AG ? 所以 25||5AG? （ Ⅱ ）因 四邊形 ABFE 為平行四邊形 ,則可設(shè) 00( , 0,1) ( 0)E x x ?, 0( 2, 1)ED x? ? ? .由 | | 7ED? 得 220 2 1 7x ? ? ? ,解得 0 2x ?? .即 ( 2,0,1)E ? .故 ( 2, 0,1)AE ?? 由 (0,2,0)AD? , (0,0,1)AF? 因 0AD AE??, 0AD AF??,故 FAE? 為二面角F AD E??的 平 面 角 ， 又 ( 2,0,0)EF ? , | | 2EF? , | | 1AF? , 所以||ta n 2||EFFAE FA? ? ? w. w. w. k. .