【導讀】，則它的前10項的和10S?，則其前3項的和3S的取值范圍是。，前n項和為nS，則4. na的前n項和為nS，若4510,15SS??按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為．262nn??,等差數(shù)列{}xa的公差為2.若?？梢酝茰y，當x≥2（*kN?fx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；（Ⅱ）證明：當n=1時，101a??由函數(shù)()fx在區(qū)間，是增函數(shù)，且函數(shù)()fx在1x?根據(jù)（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數(shù)n，11nnaa???1，若存在某ik≤滿足iab≤，則由⑵知：1kiabab????（Ⅰ）依題意，113nnnnnSSaS??????

　　

【正文】 x，由 12n n nx px qx????得???? ??s t pst q ， 消去 t ，得 2 0? ? ?s ps q ， ?s 是方程 2 0x px q? ? ? 的根，由題意可知， 12,??ss?? ①當 ???時，此時方程組 ??????s t pst q的解記為 12????????sstt????或 1 1 2( ) ,? ? ?? ? ? ?n n n nx x x x? ? ?1 1 2( ) ,? ? ?? ? ?n n n nx x x x? ? ? 即 ? ?11??nnx t x 、 ? ?21??nnx t x 分別是公比為 1?s ? 、 2?s ? 的等比數(shù)列， 由等比數(shù)列性質(zhì)可得 21 2 1() ??? ? ? nnnx x x x? ? ?, 21 2 1() ??? ? ? nnnx x x x? ? ?, 兩式相減，得 221 2 1 2 1( ) ( ) ( )???? ? ? ? ?nnnx x x x x? ? ? ? ? ? 221,? ? ?x p q x p， 222? ? ? ?x ? ? ??， 1 ??x ?? 2 2 221() ??? ? ? ?n n nxx? ? ? ? ?， 2 2 221() ??? ? ?n n nxx? ? ? ? ? 1() ?? ? ? ?nnnx? ? ? ?，即 1? ??? ?nnnx ????， 11????? ?nnnx ???? ②當 ???時，即方程 2 0x px q? ? ? 有重根， 2 40? ? ?pq， 即 2( ) 4 0? ? ?s t st ，得 2( ) 0,? ? ? ?s t s t，不妨設 ??st? ，由①可知 21 2 1() ??? ? ? nnnx x x x? ? ?， ???， 21 2 1() ??? ? ? ? ?nnnnx x x x? ? ? ? 即 1?? ? ? nnnxx??，等式兩邊同時除以 n? ，得 11 1????nnxx??，即 11 1????nnxx?? ? 數(shù)列 {}nnx?是以 1 為 公 差 的 等 差 數(shù) 列 ，1 2( 1 ) 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nnx x n n n?? ? ?,? ? ?nnnxn?? 鄭學偉 第 19 頁 20201011 延津縣高級中學 綜上所述，11 , ( ), ( )??? ? ??? ??? ???nnnnnxn?? ????? ? ? ? （ 3）把 1p? ， 14q?代入 2 0x px q? ? ? ，得 2 1 04? ? ?xx，解得 12???? 11( ) ( )22? ? ?nnnxn 2 3 2 31 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) . . . ( )2 2 2 2 2 2 2 2nnnSn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 231 1 1 1 11 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) . . . ( )2 2 2 2 2nn n??? ? ? ? ? ? ?????11 1 1 11 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( 3 ) ( )2 2 2 2n n n nnn?? ? ? ? ? ? ? ? 14.（ 浙江卷 22）（本題 14 分） 已 知 數(shù) 列 ??na ， 0?na ， 01?a ， )(1 2121 ??? ???? Nnaaa nnn ．記nn aaaS ???? ?21 ． )1()1)(1( 1)1)(1( 11 121211 nn aaaaaaT ?????????? ??． 求證：當 ??Nn 時， （Ⅰ） 1?? nn aa ； （Ⅱ） 2??nSn ； （Ⅲ） 3?nT 。 本題主要考查數(shù)列的遞推關系，數(shù)學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．滿分 14 分． （Ⅰ）證明：用數(shù)學歸納法證明． ①當 1n? 時，因為 2a 是方程 2 10xx? ? ? 的正根，所以 12aa? ． ②假設當 *()n k k??N 時， 1kkaa?? ， 因為 221kkaa? ? 222 2 1 1( 1 ) ( 1 )k k k ka a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 1 2 1( ) ( 1 )k k k ka a a a? ? ? ?? ? ? ?， 所以 12kkaa??? ． 即當 1nk??時， 1nnaa?? 也成立． 鄭學偉 第 20 頁 20201011 延津縣高級中學 根據(jù)①和②，可知 1nnaa?? 對任何 *n?N 都成立． （Ⅱ）證明：由 22111k k ka a a??? ? ?， 1 2 1kn??， ， ， （ 2n≥ ）， 得 222 3 1( ) ( 1 )nna a a a n a? ? ? ? ? ? ?． 因為 1 0a? ，所以 21nnS n a? ? ? ． 由 1nnaa?? 及 22111 2 1n n na a a??? ? ? ?得 1na? ， 所以 2nSn?? ． （Ⅲ）證明：由 2211 12k k k ka a a a??? ? ? ≥，得 111 ( 2 3 1 3 )12 kkka k n naa ?? ??? ≤ ， ， ， ， ≥ 所以23 4 21 ( 3 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 nnn a aa a a a?? ? ? ≤ ≥， 于是2 2 2 22 3 2 211 ( 3 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) 2 2nnn n nn aa na a a a a? ? ???? ? ? ?≤ ≥， 故當 3n≥ 時，2111 1 322n nT ?? ? ? ? ? ?， 又因為 1 2 3T T T??， 所以 3nT? ． 15.（ 遼寧卷 21） ． （本小題滿分 12 分） 在數(shù)列 ||na ， ||nb 中， a1=2， b1=4，且 1n n na b a ?， ， 成等差數(shù)列， 11n n nb a b??， ， 成等比數(shù)列（ n?*N ） （ Ⅰ ）求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜測 ||na ， ||nb 的通項公式，并證明你的結(jié)論； （ Ⅱ ）證明：1 1 2 21 1 1 512nna b a b a b? ? ? ?? ? ?…． 本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．滿分 12 分． 解：（Ⅰ）由條件得 21 1 12 n n n n n nb a a a b b? ? ?? ? ?， 由此可得 2 2 3 3 4 46 9 1 2 1 6 2 0 2 5a b a b a b? ? ? ? ? ?， ， ， ， ，． 2 分 猜測 2( 1 ) ( 1 )nna n n b n? ? ? ?， ． 4 分 用數(shù)學歸納法證明： 鄭學偉 第 21 頁 20201011 延津縣高級中學 ①當 n=1 時，由上可得結(jié)論成立． ②假設當 n=k 時，結(jié)論成立，即 2( 1 ) ( 1 )kka k k b k? ? ? ?， ， 那么當 n=k+1 時， 222 2112 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )kk k k k kaa b a k k k k k b kb ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，． 所以當 n=k+1 時，結(jié)論也成立． 由①②，可知 2( 1) ( 1)nna n n b n? ? ?， 對一切正整數(shù)都成立． 7 分 （Ⅱ）111 1 56 12ab??? ． n≥ 2 時，由（Ⅰ）知 ( 1 ) ( 2 1 ) 2( 1 )nna b n n n n? ? ? ? ? ?． 9 分 故1 1 2 21 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 ( 1 )nna b a b a b n n??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???… … 1 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 1nn??? ? ? ? ? ? ? ??? ???… 1 1 1 1 1 1 56 2 2 1 6 4 1 2n??? ? ? ? ? ?????? 綜上，原不等式成立． 12 分