20xx年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何-資料下載頁
2025-08-08 22:12本頁面
【正文】 線定理的方法求作二面角。過作∥交于,作交于,作交于,則∥,面,面面,面即為所求二面角的補(bǔ)角.法二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，易證，則即為所求二面角.解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則。SABCDMzxy（Ⅰ）設(shè)，則，由題得，即解之個(gè)方程組得即所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。法2：設(shè)，則又故，即，解得，所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，設(shè)分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即，∴二面角的大小。13. （2009四川卷文）（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、求證： ∥（III）求二面角的大小。【解析】解法一：因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因?yàn)楱SABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45176。，又因?yàn)椤螦EF=45,所以∠FEB=90176。，即EF⊥BE.因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE,BC∩BE=B所以 …………………………………………6分（II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC∴ PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.∵ CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥⊥平面ABCD,作GH⊥BD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BD⊥FH.∴ ∠FHG為二面角FBDA的平面角.∵ FA=FE,∠AEF=45176。,∠AEF=90176。, ∠FAG=45176。.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45176。,BG=AB+AG=1+=,在Rt⊿FGH中, ,∴ 二面角的大小為…12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫?，所以⊥平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則，∵，∴，從而，于是， ∴⊥,⊥ ∵平面，平面， ∴（II），從而 于是 ∴⊥，又⊥平面，直線不在平面內(nèi)， 故∥平面（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)＝（ 即 取，則，從而＝（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為14. （2009陜西卷文）(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱中， AB=1，CBAC1B1A1，∠ABC=60.(Ⅰ)證明：；（Ⅱ）求二面角A——B的大小。 解析：解答1（Ⅰ）因?yàn)槿庵鶠橹比庵栽谥杏烧叶ɡ淼盟约?，所以又因?yàn)樗裕á颍┤鐖D所示，作交于，連，由三垂線定理可得所以為所求角，在中，在中， ，所以所以所成角是15. （2009寧夏海南卷文）（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，⊿是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 186。（Ⅰ）證明：AB⊥PC（Ⅱ）若，且平面⊥平面， 求三棱錐體積。（18）解：（Ⅰ）因?yàn)槭堑冗吶切危?所以,可得。如圖，取中點(diǎn)，連結(jié),則,所以平面,所以。 ．．．．．．6分（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．因?yàn)?，所以，．由已知，平面平面，故． ．．．．．?分因?yàn)?，所以都是等腰直角三角形。由已知，得?的面積．因?yàn)槠矫?，所以三角錐的體積 ．．．．．．．12分16. （2009福建卷文）（本小題滿分12分）如圖，平行四邊形中，將沿折起到的位置，使平面平面 （I）求證： （Ⅱ）求三棱錐的側(cè)面積。（I）證明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（Ⅱ）解：由（I）知從而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 綜上，三棱錐的側(cè)面積，17. （2009重慶卷文）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）如題（18）圖，在五面體中，∥，，四邊形為平行四邊形，平面，．求：（Ⅰ）直線到平面的距離；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．解法一:（Ⅰ）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過點(diǎn)A作于G，因∥，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中。即直線到平面的距離為。（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二: （Ⅰ）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè)可得,解得 ∥，面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而,此即 解得?、佟?知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.,故有 ② 聯(lián)立①,②解得, 為直線AB到面的距離. 而 所以（Ⅱ）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由得,由,因,故為二面角的平面角，又,所
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