20xx年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何-資料下載頁(yè)
2025-04-07 04:36本頁(yè)面
【正文】 EF∥ AB∥ 所以 ∥ 又 ?平面 P平面 P 所以 ∥平面 CD 又 EF平面 Q平面 EF?平面 CDGH? 所以 ∥ GH 又 ∥ AB 所以 ∥ (Ⅱ)解法一:在△ Q 2BD?AQ 所以 =90AB??即 ?因?yàn)?P平面 所以 ABP? 又 P??所以 平面 由(Ⅰ)知 ∥ GH 所以 GH平面 Q又 F?平面 B所以 F同理可得 C 所以 FC為二面角 DGHE?的平面角設(shè) 2AQBP?連接 在 tR△ B由勾股定理得 2C? 在 △ P由勾股定理得 5P 第 35 頁(yè) 共 40 頁(yè) 又 H為△ PBQ的重心所以153HCP? 同理 53F? 在△ HC由余弦定理得5249cosFHC????? 即二面角 DGE?的余弦值為45 解法二:在△ ABQ2?ADQ 所以 90?又 P?平面 B所以 ,BP兩兩垂直 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以 ,所在直線為 x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè) 2BAQ?則 (1,0)E(,)F(0,2)Q(1,)D0,)C(0,2)P所以 (,)E???,????,P???,2???? 設(shè)平面 F的一個(gè)法向量為 1()mxyz 由 mQ????0??? 得112xyz????? 取 1?得 (0,)?? 設(shè)平面 PDC的一個(gè)法向量為 2(,)nxyz?? 由 n????? 得220xyz?????? 取 21z得 (0,2)n?所以4cos,5mn???? 第 36 頁(yè) 共 40 頁(yè) 因?yàn)槎娼?DGHE?為鈍角所以二面角 DGHE?的余弦值為45? 45.． （2022 年湖南卷（理））如圖 5 在直棱柱 1/ABCABC中 ，90,1BACB????? 13(I)證明: 。 (II)求直線 所成角的正弦值1ACBD?11BCAD與 平 面【答案】解: (Ⅰ) ACB?????? 111 ,面且面是 直 棱 柱? DBABBA11, ???，面。面且又 ?(證畢) (Ⅱ) 。的 夾 角與 平 面的 夾 角 即 直 線與 平 面直 線 ?1111,/ ACDCDC 軸 正 半 軸 。為軸 正 半 軸 ，為點(diǎn) ，量 解 題 。 設(shè) 原 點(diǎn) 在建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 用 向 XYAB ?? BDACyDyCyBDA ????),03(),01()0,1(),0(),3(),03(,1 ， 則，設(shè) ).,(),3(.3, 12 ????????? AyBC ），（），（的 一 個(gè) 法 向 量平 面則的 法 向 量 為設(shè) 平 面 30, 111 ??????? AnADnCA 7213|,cos|i3,31 ?????? DCD?），（），（的 一 個(gè) 法 向 量平 面第 37 頁(yè) 共 40 頁(yè) 72111夾 角 的 正 弦 值 為與 平 面所 以 ACDB46.． （2022 年普通等學(xué)校招生統(tǒng)一試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版））如圖在四棱柱側(cè)棱1?1ABCD?底 面 /1A?3Bk4AD?5Bk?6(0)k?(1)求證: 1。CD平 面(2)若直線 與平面 所成角的正弦值為 求 的值。1AB67k(3)現(xiàn)將與四棱柱 形狀和大小完相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的1CD?棱柱規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完相同則視為同一種拼接方案問(wèn):共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱記其最小的表面積為 寫(xiě)出 的表達(dá)()fk()f式(直接寫(xiě)出答案不必要說(shuō)明理由)【答案】解:(Ⅰ)取 點(diǎn) 連接 CDEB /ABQ3k?四邊形 為平行四邊形 ?且 E4A在 V,5k? 22BC??即 又 所以 90??D?/BEAQCD?平面 平面 1AQ?又 ?1A?I平面 CD?(Ⅱ)以 為原點(diǎn) 的方向?yàn)?軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐1,CDurr,xyz第 38 頁(yè) 共 40 頁(yè) 標(biāo)系 (4,0)Ak(,6)Ck1(4,3)Bk1(,0)A所以 ,??ur0,A?ur,?ur設(shè)平面 的法向量 則由 1B(,)nxyz10CnAB?????r得 取 得 4603kxyz??????2(3,6)k??設(shè) 與平面 所成角為 則 1A1BC?11,sin|co,||An????urr解得 故所求 的值為 1 2673k??k?k(Ⅲ)共有 種不同的方案 4 []256,018()3,kkf?????????47.． （2022 年普通等學(xué)校招生統(tǒng)一試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純 WORD 版含答案））如圖直棱柱1ABC?,DE分別是 1,AB的點(diǎn) 12ACB?(Ⅰ)證明: 1/平面 1C。 (Ⅱ)求二面角 1DE?的正弦值A(chǔ)BCD11BE【答案】第 39 頁(yè) 共 40 頁(yè) 48.． （2022 年北京卷（理））如圖在三棱柱 ABCA1B1C1AA1C1C 是邊長(zhǎng)為 4 的正方形平面 ABC⊥平面 AA1C1CAB=3BC=5(Ⅰ)求證: AA1⊥平面 ABC。(Ⅱ)求二面角 A1BC1B1的余弦值。(Ⅲ)證明:在線段 BC1存在點(diǎn) D 使得 AD⊥ A1B 并求 的值1DC【答案】解: (I)因?yàn)?AA1C1C 為正方形所以 AA1 ⊥AC 因?yàn)槠矫?ABC⊥平面 AA1C1C 且 AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線 AC 所以 AA1⊥平面 ABC (II)由(I)知 AA1 ⊥ACAA 1 ⊥AB 由題知 AB=3BC=5AC=4 所以 AB⊥AC 如圖以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A 則 B(030)A1(004)B1(034)C1(404) xyz第 40 頁(yè) 共 40 頁(yè) 設(shè)平面 A1BC1的法向量為 則 即 ,)xyzn=(10ABC????????n340yzx?????令 則 所以 3z?0x4y0,43同理可得平面 BB1C1的法向量為 所以 由題知(,)m=16cos25??nm,||二面角 A1BC1B1為銳角所以二面角 A1BC1B1的余弦值為 625(III)設(shè) D 是直線 BC1 上一點(diǎn)且 所以 解(,)xyzBDC????(,3)(4,)xyz???得 4??3?4??所以 [](,)A??由 即 解得 10DB9250925因?yàn)?所以在線段 BC1上存在點(diǎn) D [,]25?使得 AD⊥A 1B 此時(shí) 19C??
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