【正文】 ?的余弦值。 【答案】本題考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定?？臻g線段長度和空間角的余弦值的計算等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和求解能力。 【解析】 (綜合法 ) （ I）取 11,BCBC 的中點為點 1,OO，連接 1 1 1 1, , ,AO O O A O A O， 則 AB AC AO BC? ? ?，面 ABC? 面 11BBCC AO??面 11BBCC ， 同理： 11AO? 面 11BBCC 得： 1 1 1 1/ / , , ,A O A O A O A O? 共面 ， 又 11,OO BC OO AO O? ? ?BC? 面 1 1 1AOO A AA BC??。 （Ⅱ）延長 11AO 到 D ，使 1OD OA? ， 得： 11/ / / /O D O A A D O O? ， 1OO BC? ，面 1 1 1ABC? 面 11BBCC 1OO??面 1 1 1ABC ? AD? 面 1 1 1ABC ， 2 2 2 21 4 ( 2 1 ) 5A A A D D A? ? ? ? ? ?。 （Ⅲ） 11,A O B C A O B C A O A? ? ? ?是二面角 1A BC A??的平面角 。 在 11Rt OOA? 中， 2 2 2 21 1 1 1 4 2 2 5A O O O A O? ? ? ? ?， 29 在 1Rt OAA? 中， 2 2 2111 1 5c o s 25A O A O A AA O A A O A O??? ? ? ??， 得：二面角 1A BC A??的余弦值為 55? 。 37.【 2022 高考真題上海理 19】 （ 6+6=12 分）如圖，在四棱錐 ABCDP? 中，底面 ABCD 是矩形， ?PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中點，已知 2?AB ， 22?AD ， 2?PA ，求： （ 1）三角形 PCD 的面積； （ 2）異面直線 BC 與 AE 所成的角的大小。 【答案】 【解析】（ 1）∵ PA⊥底面 ABCD，∴ PA⊥ CD， 又∵ CD⊥ AD，∴ CD⊥平面 PAD， ∴ CD⊥ PD， 又∵ 32)22(2 22 ???PD ， CD=2， ∴△ PCD 的面積為 3232221 ??? 。 （ 2）解法一：取 PB 的中點 F，連接 EF,AF, 則 EF∥ BC，∴∠ AEF(或其補角 )是異面直線 BC 與 AE 所成的角。 在△ ADF 中， EF= 2 、 AF= 2 ,AE=2， ∴△ AEF 是等腰直角三角形， ∴∠ AEF=4? ， ∴異面直線 BC 與 AE 所成的角大小為 4? 。 解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系， 30 則 B(2,0,0),C(2， 22 ,0),E(1， 2 ,1)， ∴ AE =(1， 2 ,1)， BC =(0, 22 ,0), 設(shè) AE 與 BC 的夾角為 ? ，則 ACAEACAE ???cos = 22222 4 ?? , 又∵ 0＜ ? ≤ 2? ，∴ ? = 4? 。 【點評】 本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力．綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運用 .本題源于《必修 2》立體幾何章節(jié)復習題，復習時應注重課本，容易出現(xiàn)找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題． 38.【 2022 高考真題全國卷理 18】 （本小題滿分 12 分）（注意： 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 如圖，四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為菱形， PA⊥底面 ABCD， AC=2 2 ， PA=2， E 是 PC 上的一點， PE=2EC. 31 （Ⅰ）證明： PC⊥平面 BED； （Ⅱ）設(shè)二面角 APBC 為 90176。，求 PD 與平面 PBC 所成角的大小 . 【答案】 32 39.【 2022 高考真題山東理 18】 （ 18）（本小題滿分 12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ CD ， 60 ,D AB FC? ? ?平面 33 ,ABC D AE BD C B C D C F? ? ?. （Ⅰ）求證： BD? 平面 AED ； （Ⅱ）求二面角 F BD C??的余弦值 . 【答案】 34 35 40.【 2022高考真題湖南理 18】 （本小題滿分 12分） 如圖 5，在四棱錐 PABCD中， PA⊥平面 ABCD， AB=4， BC=3， AD=5，∠ DAB=∠ ABC=90176。， E是 CD的中點 . （Ⅰ）證明： CD⊥平面 PAE； （Ⅱ）若直線 PB 與平面 PAE 所成的角和 PB 與平面 ABCD 所成的角相等，求四棱錐 PABCD 的體積 . 【答案】解法 1（Ⅰ如圖（ 1）），連接 AC，由 AB=4， 3BC? ， 90 B C A C? ? ?,得 5,AD?又 Ｅ是ＣＤ的中點，所以 .CD AE? ,P A A B CD CD A B CD??平 面 平 面所以 .PA CD? 而 ,PA AE 是 平 面 PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以 CD⊥平面 PAE. （Ⅱ）過點Ｂ作 , , , , .B G CD A E A D F G P F?? 分 別 與 相 交 于 連 接 由（Ⅰ） CD⊥平面 PAE 知，ＢＧ⊥平面 BPF? 為直線ＰＢ與平面 PAE 所成的角，且 BG AE? . 由 PA AB CD? 平 面 知， PBA? 為直線 PB 與平面 ABCD 所成的角 . 4 , 2 , ,AB AG BG AF? ? ?由題意，知 ,PB A BP F? ? ? 因為 si n , si n ,P A B FP B A B P FP B P B? ? ? ?所以 .PA BF? 由 9 0 / / , / / ,D A B A B C A D B C B G CD? ? ? ? 知 ， 又所以四邊形 BCDG 是平行四邊形，故 BC??于是 ? 在 RtΔBAG 中， 4 , 2 , ,AB AG BG AF? ? ?所以 222 1 6 8 52 5 , .525ABB G A B A G B F BG? ? ? ? ? ? 36 于是 BF?? 又梯形 ABCD 的面積為 1 (5 3 ) 4 1 6 ,2S ? ? ? ? ?所以四棱錐 P ABCD? 的體積為 1 1 8 5 1 2 8 51 6 .3 3 5 1 5V S P A? ? ? ? ? ? ? 解法 2：如圖（ 2），以 A 為坐標原點， ,AB AD AP 所在直線分別為 x y z軸 ， 軸 ， 軸 建立空間直角坐標系 .設(shè) ,PA h? 則相關(guān)的各點坐標為： ( 4 , 0 , 0) , ( 4 , 0 , 0) , ( 4 , 3 , 0) , ( 0 , 5 , 0) , ( 2 , 4 , 0) , ( 0 , 0 , ) .A B C D E P h （Ⅰ）易知 ( 4 , 2 , 0 ) , ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) .CD A E A P h? ? ? ?因為 8 8 0 0 , 0 ,CD A E CD A P? ? ? ? ? ? ? ?所以 ,.C D AE C D AP??而 ,APAE 是平面 PAE 內(nèi)的兩條相交直線，所以 .CD PA E? 平 面 (Ⅱ )由題設(shè)和（Ⅰ）知， ,CDAP 分別是 PAE平 面 ， ABCD平 面 的法向量，而 PB與 PAE平 面 所成的角和 PB與 ABCD平 面 所成的角相等，所以 c os , c os , .C D PB PA PBC D PB PA PB C D PB PA PB??? ? ? ? ? ?, 即 由（Ⅰ）知， ( 4 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) ,CD A P h? ? ? ?由 (4,0, ),PB h??故 37 22216 0 0 0 0 .162 5 16hhhh? ? ? ? ?????? 解得 855h? . 又梯形 ABCD的面積為 1 (5 3 ) 4 1 62S ? ? ? ? ?，所以四棱錐 P ABCD? 的體積為 1 1 8 5 1 2 8 5163 3 5 1 5V S P A? ? ? ? ? ? ?. 41.【 2022 高考真題天津理 17】 （本小題滿分 13 分） 如圖，在四棱錐 PABCD 中， PA⊥平面 ABCD， AC⊥ AD， AB⊥ BC，∠ BAC=45176。， PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）證明 PC⊥ AD； （Ⅱ）求二面角 APCD的正弦值； （Ⅲ）設(shè) E為棱 PA上的點，滿足異面直線 BE與 CD所成的角為 30176。，求 AE的長 . DCBAP 【答案】 38 39