【正文】 平面 MEF，于是 O 是Δ MEF的內(nèi)心 . 設(shè)球 O的半徑為 r，則 r＝ MFEMEF S M EF?? △2 設(shè) AD＝ EF＝ a,∵ SΔ AMD＝ 1. ∴ ME＝ a2 .MF＝ 22 )2(aa ?, r＝22 )2(22aaaa ???≤222 2?＝ 2 1。 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ a2 ，即 a＝ 2 時，等號成立 . ∴當(dāng) AD＝ ME＝ 2 時，滿足條件的球最大半徑為 2 1. 點(diǎn)評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。 二、 方法總 結(jié) 高考預(yù)測 （一）方法總結(jié) 1．位置關(guān)系： （ 1）．兩條異面直線相互垂直 證明方法： ○1證明兩條異面直線所成角為 90186。； ○2證明兩條異面直線的方向量相互垂直。 （ 2）．直線和平面相互平行 證明方法： ○1 證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行； ○2證明這條直線的方向 向 量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行； ○3證明這條直線的方向 向 量和這個平面的法向量相互垂直。 （ 3）．直線 和平面垂直 證明方法： ○1 證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直， ○2 證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直； ○3證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。 分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。Love 第 19 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 （ 4）．平面和平面相互垂直 證明方法： ○1 證明這兩個平面所成二面角的平面角為 90186。； ○2證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；○3證明兩個平面的法向量相互垂直。 2．求距 離： 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。 （ 1）．兩條異面直線的距離 求法：利用公式||||nnABd ? （其中 A、 B分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)， n 為這兩條異面直線的法向量） （ 2）．點(diǎn)到平面的距離 求法： ○1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 ○2等體積法。 ○3向量法，利用公式||||nnABd ?（其中 A為已知點(diǎn)， B為這個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)， n 這個平面的法向量） 3．求角 （ 1）．兩條異面直線所成的角 求法： ○1 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；○2通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是 ]2,0( ? ，向量所成的角范圍是],0[ ? ，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （ 2）．直線和平面所成的角 求法： ○1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 ○2向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為 ???2 或 2??? 。 （ 3）．平面與平面所成的角 求法： ○1“一找二證三求”，找出這個 二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。 ○2通過射影面積來求原射影Scos S?? （在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為 cosα，注意到我們要求的角為α或π－α）； ○3向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。 分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。Love 第 20 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有 關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！ 4．解題注意點(diǎn) （ 1）．我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。 （ 2）．我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段 AB的長度就是我們所 要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。 （ 3）．用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出 cosα＝ x，則這兩條異面直線所成的角為α＝ arccos|x| （ 4）．在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要 ???2 或 2??? ，若求出的角為銳角，就用 ???2 ，若求出的鈍角，就用 2??? 。 （ 5）．求 二面角 時，若用第 ○2 、 ○3 種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。 （二） 2022 年高考預(yù)測 從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個解答題， 1 至 3 個 填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解． 高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間 想象能力及運(yùn)算能力 . 近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題。 高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面： 1． 從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變 . 除保留傳統(tǒng)的 ―四選一 ‖的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了 ―多選填空 ‖、 ―完型填空 ‖、 ―構(gòu)造填空 ‖等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面 面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是 ―作 ——證 ——求 ‖，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合。 ２． 從內(nèi)容上來看，主要是： ① 考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題； ② 計算角的問題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③ 求距離，試題中常見的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線 到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法； ④ 簡單的幾何體的側(cè)面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問題； ⑤ 體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。 ３． 從方法上來看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導(dǎo)和計算相集合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常要把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問題解決；考查割補(bǔ)法、等積變換法，分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。Love 第 21 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 以 及變化運(yùn)動的思想方法，極限方法等。 ４． 從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是 ―四會 ‖： ① 會畫圖 ——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線 (面 )，作出的圖形要直觀、虛實分明； ② 會識圖 ——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系； ③ 會析圖 ——對圖形進(jìn)行必要的分解、組合； ④ 會用圖 ——對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。 三、 強(qiáng)化訓(xùn)練 （一） 選擇題 1． 定點(diǎn) P 不在△ ABC 所在平面內(nèi)，過 P 作平面α ，使△ ABC 的三個頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 （ ） （Ａ）１個 （Ｂ）２個 （Ｃ）３個 （Ｄ）４個 2． P 為矩形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)，且 PA⊥平面 ABCD， P 到 B， C， D 三點(diǎn)的距離分別是 5 ， 17 ， 13 ，則P 到 A 點(diǎn)的距離是 （ ） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） 3 （Ｄ）４ 3． 直角三角形 ABC的斜邊 AB在平面 α內(nèi)，直角頂點(diǎn) C在平面α外， C在平面α內(nèi)的射影為 C1，且 C1?AB，則△ C1AB為 （ ） （Ａ）銳角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）鈍角三角形 （Ｄ）以上都不對 4． 已知四點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，則可以確定 ( ) 4個平面 5． 已知球的兩個平行截面的面積分別為 5π和 8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是 1，那么這個球的半徑是 ( ) 6． 球面上有 3個點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的 61 ，經(jīng)過 3個點(diǎn)的小圓的周長為 4π，那么這個球的半徑為 ( ) 3 3 D. 3 7． 棱長為 1 的正方體 ABCD－ A1B1C1D1被以 A為球心， AB為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ） A． 45 π B ． 87 π C ． π D ． 47 π 8．某刺猬有 2022根刺，當(dāng)它蜷縮成球時滾到平面上，任意相鄰的三根刺都可支撐住身體，且任意四根刺的刺尖不共面，問該刺猬蜷縮成球時，共有（ ）種不同的支撐身體的方式。 A． 2022 B． 4008 C． 4012 D． 2022 9．命題 ① 空間直線 a， b， c，若 a∥b ， b∥c 則 a∥c ② 非零向量 c、b、a ，若 a ∥ b ， b ∥ c 則 a ∥ c ③ 平面 α 、 β 、 γ 若 α⊥β ， β⊥γ ，則 α∥γ ④ 空間直線 a、 b、 c若有 a⊥b ， b⊥c ，則 a∥c ⑤ 直線 a、 b與平面 β ，若 a⊥β ， c⊥β ，則 a∥c 其中所有真命題的序號是（ ） A． ①②③ B ． ①③⑤ C ． ①②⑤ D ． ②③⑤ 分享智慧泉源 智愛學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛心喜樂 Wisdomamp。Love 第 22 頁 （共 32 頁） 2022 年 2 月 5 日星期六 10．在正三棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成二面角的取值范圍是 （ ） A、 3? ?（ ， ） B、 23? ?（ ， ） C、（ 0， 2? ） D、 23??（ ， ）3 11．一正四棱錐的高為 2 2 ，側(cè)棱與底面所成的角為 45176。，則這一正四棱錐的斜高等于（ ） A． 2 6 B． 2 3 C． 4 3 D． 2 2 12． 以正方體的任意三個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)地取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為 （ ） A． 367385 B． 376385 C． 192385 D． 18385 1—12 解答 1． 【答案】 D 解析 ： 過 P 作一個與 AB， AC 都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊 AB， BC， CA 的中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)， G，則平面 PEF 符合要求；同理平面 PFG，平面 PGE 符合要求 2． 【答案】 A 解析 ： 設(shè) AB＝ a， BC＝ b， PA＝ h，則 a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴ h=1． 3． 【答案 】 C 解析 ： ∵ C1A2+C1B2CA2+CB2 ＝ AB, ∴∠ AC1B為鈍角，則△ C1AB 為鈍角三角形． 4． 【答案】 ： 因為無三點(diǎn)共線，所以任意三個點(diǎn)都可以確定平面α，若第四個點(diǎn)也在α內(nèi)，四個點(diǎn)確定一個平面，當(dāng)?shù)谒膫€點(diǎn)在α外，由公理 3 知可確定 4 個平面 .故選