【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 期六 轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化 （ 2）設(shè) CB1與 C1B 的交戰(zhàn)為 E，則 E（ 0,2， 2） .∵ DE ＝（－ 23 ， 0,2）， 1AC ＝（－ 3,0， 4）， ∴121 ACDE?，∴ DE∥ AC1. 點(diǎn)評(píng)： 2．平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： 面面平行 線面平行 線線平行； 主要依據(jù)是有關(guān) 的 定義及判定定理和性質(zhì)定理 ． 4. （ 2022武漢 3月 ） 如圖所示，四棱錐 P—ABCD中， AB? AD， CD? AD，PA? 底面 ABCD， PA=AD=CD=2AB=2， M 為 PC 的中點(diǎn)。 (1)求證： BM∥ 平面 PAD； (2)在側(cè)面 PAD 內(nèi)找一點(diǎn) N，使 MN? 平面 PBD； (3)求直線 PC 與平面 PBD 所成角的正弦。 解析： 本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直， 二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力 . 答案： （ 1） ?M 是 PC 的中點(diǎn)，取 PD 的中點(diǎn) E ，則 ME CD21 ，又 AB CD21 ?四邊形 ABME 為平行四邊形 ?BM ∥ EA ， PADBM 平面? PADEA 平面? ?BM ∥ PAD平面 （ 4 分） （ 2）以 A 為原點(diǎn)，以 AB 、 AD 、 AP 所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則 ? ?)0,0,1B ，? ?0,2,2C ， ? ?0,2,0D ， ? ?2,0,0P ， ? ?1,1,1M ， ? ?1,1,0E 在平面 PAD 內(nèi)設(shè) ? ?zyN ,0 ， ? ?1,1,1 ??????? zyMN ， ? ?2,0,1 ?????PB ， ? ?0,2,1?????DB 由 ?????? ?PBMN ? 0221 ?????? ?????? zPBMN ? 21?z 由 ?????? ?DBMN ? 0221 ?????? ?????? yDBMN ? 21?y ? ?????? 21,21,0N ?N 是 AE 的中點(diǎn)，此時(shí) BDMN P平面? （ 8 分） （ 3）設(shè)直線 PC 與平面 PBD 所成的角為 ? ? ?2,2,2 ?????PC ， ?????? ??????? 21,21,1MN ，設(shè) ?????? MNPC, 為 ? 3226322c o s ???????????????????MNPCMNPC? 32c oss in ??? ?? 故直線 PC 與平面 PBD 所成角的正弦為 32 （ 12 分） 解法二： （ 1） ?M 是 PC 的中點(diǎn)，取 PD 的中點(diǎn) E ，則 分享智慧泉源 智愛(ài)學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛(ài)心喜樂(lè) Wisdomamp。Love 第 11 頁(yè) （共 32 頁(yè)） 2022 年 2 月 5 日星期六 ME CD21 ，又 AB CD21 ?四邊形 ABME 為平行四邊形 ?BM ∥ EA ， PADBM 平面? PADEA 平面? ?BM ∥ PAD平面 （ 4 分） （ 2）由（ 1）知 ABME 為平行四邊形 ABCDPA 底面? ? ABPA? ，又 ADAB? ? PADAB 平面? 同理 PADCD 平面? ， PAD平面?AE ? AEAB? ?ABME 為矩形 CD ∥ ME ， PDCD? ，又 AEPD? ? PD?ME ? A B M E平面?PD PBDPD 平面? ? A B M EP B D 平面平面 ? 作 EB?MF 故 PBD平面?MF MF 交 AE 于 N ，在矩形 ABME 內(nèi)， 1?? MEAB ， 2?AE ? 32?MF ， 22?NE N 為 AE 的中點(diǎn) ?當(dāng)點(diǎn) N 為 AE 的中點(diǎn)時(shí)， BDMN P平面? （ 8 分） （ 3）由（ 2）知 MF 為點(diǎn) M 到平面 PBD 的距離， MPF? 為直線 PC 與平面 PBD 所成的角，設(shè)為 ? ，32sin ?? MPMF? ?直線 PC 與平面 PBD 所成的角的正弦值為 32 點(diǎn)評(píng)：（ 1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（ 2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（ 3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可 .這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái) 考點(diǎn)三 求空間圖形中的角與距離 根據(jù)定義找出或作出所求 的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一 .解題時(shí)注意各種角的范圍： 異面直線所成角的范圍是 0176。＜ θ≤ 90176。，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是 0176?！?θ≤ 90176。，其解法是作垂線、找射影；二面角 0176。≤ θ≤ 180176。，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 另 外 也可借助空間向量求這三種角的大小 . 5. （ 四川省成都市 2022 屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè) ）如圖，四棱錐 P ABCD? 中，側(cè)面 PDC 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，且與底面垂直，底面 ABCD 是 60ADC??的菱形， M 為 PB 的中點(diǎn) . (Ⅰ )求 PA 與底面 ABCD 所成 角的大??； (Ⅱ )求證： PA? 平面 CDM ； (Ⅲ )求二面角 D MC B??的余弦值 . 解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平 移法新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 答案： (I)取 DC 的中點(diǎn) O，由 ΔPDC 是正三角形，有 PO⊥ DC． 又∵平面 PDC⊥底面 ABCD，∴ PO⊥平面 ABCD 于 O． 連結(jié) OA，則 OA 是 PA 在底面上的射影．∴∠ PAO 就是 PA 與底面所成角． ∵∠ ADC=60176。，由已知 ΔPCD 和 ΔACD 是全等的正三角形，從而求得 OA=OP= 3 ． ∴∠ PAO=45176。．∴ PA 與底面 ABCD 可成角的大小為 45176。． ?? 6 分 (II)由底面 ABCD 為菱形且∠ ADC=60176。， DC=2， DO=1，有 OA⊥ DC． 建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 ( 3 , 0 , 0), ( 0 , 0 , 3 ) , ( 0 , 1 , 0)A P D ?, ( 3, 2, 0), (0, , 0)BC． 由 M 為 PB 中點(diǎn)，∴ 33( ,1, )22M． ∴ 33( , 2 , ) , ( 3 , 0 , 3 ) ,22D M P A? ? ?(0, 2, 0)DC?． 分享智慧泉源 智愛(ài)學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛(ài)心喜樂(lè) Wisdomamp。Love 第 12 頁(yè) （共 32 頁(yè)） 2022 年 2 月 5 日星期六 ∴ 333 2 0 ( 3 ) 022P A D M? ? ? ? ? ? ? ?， 0 3 2 0 0 ( 3 ) 0P A D C? ? ? ? ? ? ? ? ?． ∴ PA⊥ DM， PA⊥ DC． ∴ PA⊥平面 DMC． ?? 4 分 (III) 33( , 0 , ) , ( 3 , 1, 0 )22C M C B??．令平面 BMC 的法向量 ( , , )n x y z? ， 則 0nCM??，從而 x+z=0； ??① , 0nCB??，從而 30xy?? ． ??② 由①、②，取 x=?1，則 3, 1yz??． ∴可取 ( 1, 3,1)n?? ． 由 (II)知平面 CDM 的法向量可取 ( 3, 0, 3)PA??， ∴ 2 3 1 0c o s ,5| | | | 56n P An P A n P A??? ? ? ? ? ??． ∴所求二面角的余弦值為－ 105． ?? 6 分 法二：（ Ⅰ ）方法同上 （ Ⅱ ）取 AP 的中點(diǎn) N ，連接 MN ，由（ Ⅰ ）知，在菱形 ABCD 中，由于 60ADC??， 則 AO CD? ，又 PO CD? ，則 CD APO? 平 面 ，即 CD PA? ， 又在 PAB? 中，中位線 //MN 12AB ， 1//2CO AB ，則 //MN CO ， 則四邊形 OCMN 為 ，所以 //MC ON ，在 APO? 中， AO PO? ， 則 ON AP? ，故 AP MC? 而 MC CD C? ， 則 PA MC D? 平 面 （ Ⅲ ）由（ Ⅱ ）知 MC PAB? 平 面 ，則 NMB? 為二面角 D MC B??的平面角， 在 Rt PAB? 中，易得 6,PA? 22 2 26 2 1 0P B P A A B? ? ? ? ?， 2 1 0co s510ABPBA PB? ? ? ?， 10co s co s ( ) 5N M B P B A?? ? ? ? ? ?故，所求二面角的余弦值為 105? 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 用 平移法求異面直線所成的 角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法 . 6. （ 2022河北省唐山市三模 ）如圖，在長(zhǎng)方體 1 1 1 1A B CD A B C D? 中， 1 1, 2 ,AD AA AB? ? ?點(diǎn) E 在線段 AB 上 . （ Ⅰ）求異面直線 1DE與 1AD 所成的角； （Ⅱ）若二面角 1D EC D??的大小為 45? ，求點(diǎn) B 到平面 1DEC 的距離 . 解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí) , 本題實(shí)質(zhì)上求 角度和距離 ,在求此類問(wèn)題中，要將這些量 歸結(jié)到 三角形中 ,最好是直角三角形 ,這樣有利于問(wèn)題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法 . 答案： 解法一：（ Ⅰ）連結(jié) 1AD 。由已知， 11AADD 是正方形，有 11AD AD? 。 ∵ AB? 平面 11AADD ， ∴ 1AD 是 1DE在平面 11AADD 內(nèi)的射影 。 根據(jù)三垂線定理， 11AD DE? 得，則異面直線 1DE與 1AD 所成的角為 90? 。 1D A B C D E 1A 1B 1C 分享智慧泉源 智愛(ài)學(xué)習(xí) 傳揚(yáng)愛(ài)心喜樂(lè) Wisdomamp。Love 第 13 頁(yè) （共 32 頁(yè)） 2022 年 2 月 5 日星期六 作 DF CE? ，垂足為 F ，連結(jié) 1DF，則 1CE DF? 所以 1DFD? 為二面角 1D EC D??的平面角， 1 45DFD? ? ? . 于是 111, 2D F D D D F? ? ? 易得 R t R tB C E C D F? ? ?，所以 2CE CD??，又 1BC? ，所以 3BE? 。 設(shè)點(diǎn) B 到平面 1DEC 的距離為 h . ∵1 ,B CE D D BCEVV???即111 1 1 13 2 3 2C E D F h B E B C D D? ? ? ? ? ? ?， ∴ 11C E D F h BE BC D D? ? ? ? ?，即 2 2 3h? ， ∴ 64h? . 故點(diǎn) B 到平面 1DEC 的距離為 64 。 解法二：分別以 1,DA DB DD 為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . （ Ⅰ）由 1(1,0,1)A ，得 1 (1,0,1)DA ? 設(shè) (1, ,0)Ea ，又 1(0,0,1)D ，則 1 (1, , 1)D E a??。 ∵ 11 1 0 1 0D A D E? ? ? ? ?∴ 11DA DE? 則異面直線 1DE與 1AD 所成的角為 90? 。 （ Ⅱ） (0,0,1)?m 為面 DEC 的法向量，設(shè) ( , , )x y z?n 為面 1CED 的法向量，則 ( , , )x y z?n2 2 2| | | | 2| c o s , | c o s 4 5| || | 2zx y z?? ? ? ? ? ? ???mnmn mn ∴ 2 2 2z x y??. ① 由 (0,2,0)C ，得 1 (0, 2, 1)DC ??，則 1DC?n ，即 1 0DC??n ∴ 20yz?? ② 由①、②，可取 ( 3,1