【文章內(nèi)容簡介】 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA ′ ＝ c ， ∴ V 長方體 ＝ abc . 又 VC － A ′ DD ′＝13 a 12bc ＝16abc ， ∴ V 剩余部分 ＝ abc －16abc ＝56abc ， ∴VC － A ′ DD ′V 剩余部分＝16abc56abc＝15. 即三棱錐 C － A ′ DD ′ 的體積與剩余部分的體積比為 1 ∶ 5. 10 ．一個多面體的直觀圖，正 ( 主 ) 視圖 ( 正前方觀察 ) ， 俯視圖 ( 正上方觀察 ) ，側(cè) ( 左 ) 視圖 ( 左側(cè)正前方觀察 ) 如下圖所示． ( 1 ) 探求 AD 與平面 A1B C C1的位置關(guān)系并說明理由； ( 2 ) 求此多面體的表面積和體積． 解 從俯視圖可得：底面四邊形 A BC D 和側(cè)面四邊形A1C1CB 是矩形，又從正 ( 主 ) 視圖可得， BC ⊥ AB ， BC ⊥ BA1， 且 AB ∩ BA1＝ B ， BC ⊥ 面 ABA1， △ A1AB 是正三角形， ∴ 三棱柱是正三棱柱． ( 1 ) ∵ 底面四邊形 AB C D 是矩形， ∴ AD ∥ BC . 又 ∵ BC ? 面 A1BC C1， ∴ AD ∥ 面 A1BC C1. ( 2 ) 依題意可得： AB ＝ BC ＝ a ， 由 V ＝ S h ， ∵ S ＝12 si n 6 0 176。 a a ＝34a2， ∴ V ＝ S h ＝34a2 a ＝34a3. S 側(cè) ＝ C h ＝ 3 a a ＝ 3 a2， S 表 ＝ S 側(cè) ＋ 2 S 底 ＝ 3 a2＋ 2 34a2＝ (3 ＋32) a2， 所以此多面體的表面積和體積分別為 (3 ＋32) a2，34a3. 返回 第 2 講 空間中的平行與垂直 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 安徽 ) 如圖，在多面體 A BC D EF 中， 四邊形 ABC D 是正方形， AB ＝ 2 EF ＝ 2 ， EF ∥ AB ， EF ⊥ FB ， ∠ B FC ＝ 9 0 176。 ， BF ＝ FC ， H 為 BC 的中點． ( 1 ) 求證： FH ∥ 平面 ED B ； ( 2 ) 求證： AC ⊥ 平面 ED B ； ( 3 ) 求四面體 B － D EF 的體積． ( 1 ) 證明 如圖，設(shè) AC 與 BD 交于點 G ，則 G 為 AC 的中點．連接 EG ， GH ，由于 H 為 BC 的中點， 故 GH 綊12AB . 又 EF 綊12AB ， ∴ EF 綊 GH . ∴ 四邊形 EFH G 為平行四邊形． ∴ EG ∥ FH . 而 EG ? 平面 ED B ， FH ? 平面 ED B ， ∴ FH ∥ 平面 ED B . ( 2) 證明 由四邊形 AB CD 為正方形，得 AB ⊥ BC . 又 EF ∥ AB ， ∴ EF ⊥ BC . 而 EF ⊥ FB ， ∴ EF ⊥ 平面 BFC . ∴ EF ⊥ FH . ∴ AB ⊥ FH . 又 BF ＝ FC ， H 為 BC 的中點， ∴ FH ⊥ BC . ∴ FH ⊥ 平面 AB CD . ∴ FH ⊥ AC . 又 FH ∥ EG ， ∴ AC ⊥ EG . 又 AC ⊥ BD ， EG ∩ BD ＝ G ， ∴ AC ⊥ 平面 ED B . ( 3) 解 ∵ EF ⊥ FB ， ∠ B FC ＝ 90176。 ∴ BF ⊥ 平面 C DE F . ∴ BF 為四面體 B － DE F 的高．又 BC ＝ AB ＝ 2 ， ∴ BF ＝ FC ＝ 2 . VB － DE F＝1312 1 2 2 ＝13. 考題分析 本題主要考查空間線面關(guān)系，線面平行的判定和線面垂直的判定．考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．試題突出考查立體幾何的基本知識和思想方法以及考生推理論證的能力． 易錯提醒 ( 1 ) 不能準(zhǔn)確運用線面平行的判定定理，易漏掉條件： FH ? 平面 ED B . ( 2 ) 線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化運用不熟練，如要證 AC ⊥ 平面D EB ，可轉(zhuǎn)化為證明 AC ⊥ BD ， AC ⊥ EG . ( 3 ) 不能正確確定三棱錐的底面和高． ( 4 ) 書寫解題過程混亂，條件不充分，表達不規(guī)范． 主干知識梳理 1 ．點、線、面的位置關(guān)系 ( 1 ) 公理 1 ∵ A ∈ α ， B ∈ α ， ∴ AB ? α . ( 2 ) 公理 2 ∵ A ， B ， C 三點不共線， ∴ A ， B ， C 確 定一個平面． 三個推論： ① 過兩條相交直線有且 只有一個平面． ② 過兩條平行直線有且只有一個平面． ③ 過一條直線和直線外一點有且只有一個平面． ( 3 ) 公理 3 ∵ P ∈ α ，且 P ∈ β ， ∴ α ∩ β ＝ l ，且 P ∈ l . ( 4 ) 公理 4 ∵ a ∥ c ， b ∥ c ， ∴ a ∥ b . ( 5 ) 等角定理 ∵ OA ∥ O1A1， OB ∥ O1B1， ∴∠ AO B ＝ ∠ A1O1B1或 ∠ AO B ＋ ∠ A1O1B1＝ 1 8 0 176。 . 2 ．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) ( 1 ) 線面平行的判定定理 ∵ a ? α ， b ? α ， a ∥ b ， ∴ a ∥ α . ( 2 ) 線面平行的性質(zhì)定理 ∵ a ∥ α ， a ? β ， α ∩ β ＝ b ， ∴ a ∥ b . ( 3 ) 面面平行的判定定理 ∵ a ? β ， b ? β ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ α ， b ∥ α ， ∴ α ∥ β . ( 4 ) 面面平行的性質(zhì)定理 ∵ α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b ， ∴ a ∥ b . 3 ．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) ( 1 ) 線面垂直的判定定理 ∵ m ? α ， n ? α ， m ∩ n ＝ P ， l ⊥ m ， l ⊥ n ， ∴ l ⊥ α . ( 2 ) 線面垂直的性質(zhì)定理 ∵ a ⊥ α ， b ⊥ α ， ∴ a ∥ b . ( 3 ) 面面垂直的判定定理 ∵ a ? β ， a ⊥ α ， ∴ α ⊥ β . ( 4 ) 面面垂直的性質(zhì)定理 ∵ α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， a ? α ， a ⊥ l ， ∴ a ⊥ β . 熱點分類突破 題型一 線線、線面的平行與垂直 例 1 如圖所示，正三棱柱 A1B1C1— ABC 中，點 D 是 BC 的中點， BC ＝ 2 BB1， 設(shè) B1D ∩ BC1＝ F . 求證： ( 1 ) A1C ∥ 平面 AB1D ； ( 2 ) BC1⊥ 平面 AB1D . 思維啟迪 本題可先挖掘正三棱柱中有關(guān)的線面平行及垂直關(guān)系，第 ( 1 ) 問可利用 “ 線線平行 ” 或 “ 面面平行 ” ，第 ( 2 ) 問可利用 “ 線線垂直 ” 來證 “ 線面垂直 ” ． 證明 ( 1 ) 連結(jié) A1B ，設(shè) A1B 與 AB1交于 E ，連結(jié) DE . ∵ 點 D 是 BC 中點，點 E 是 A1B 中點， ∴ DE ∥ A1C ， ∵ A1C ? 平面 AB1D ， DE ? 平面 AB1D ， ∴ A1C ∥ 平面 AB1D . ( 2 ) ∵△ A BC 是正三角形，點 D 是 BC 的中點， ∴ AD ⊥ BC . ∵ 平面 ABC ⊥ 平面 B1BC C1， 平面 A BC ∩ 平面 B1BC C1＝ BC ， AD ? 平面 ABC ， ∴ AD ⊥ 平面 B1BC C1， ∵ BC1? 平面 B1B C C1， ∴ AD ⊥ BC1. ∵ 點 D 是 BC 的中點， BC ＝ 2 BB1， ∴ BD ＝22BB1. ∵BDBB1＝CC1BC＝22， ∴ Rt △ B1BD ∽ Rt △ B C C1. ∴∠ BD B1＝ ∠ BC1C . ∴∠ FBD ＋ ∠ BD F ＝ ∠ C1BC ＋ ∠ BC1C ＝ 9 0 176。 . ∴ BC1⊥ B1D . ∵ B1D ∩ AD ＝ D ， ∴ BC1⊥ 平面 AB1D . 探究提高 線面平行、線面垂直的證明是立體幾何的基本功，備考中要加強訓(xùn)練，熟練運用，在運用中體會判定定理條件的運用，包括思路分析、方法確認(rèn)，書寫表達規(guī)范．新課標(biāo)考試說明對立體幾何的要求有所降低，這只是在知識應(yīng)用方面有所降低，但是表達規(guī)范性上提出了更高的要求，一定要推理充分，論證有力，思路清晰，邏輯嚴(yán)密． 變式訓(xùn)練 1 如圖所示，在四棱錐 P — AB C D 中， PD ⊥ 平面 A BC D ， AD ⊥ CD ， DB 平分 ∠ AD C ， E 為 PC 的中點， AD ＝ CD . 求證： ( 1 ) PA ∥ 平面 BD E ； ( 2 ) AC ⊥ 平面 PBD . 證明 設(shè) AC ∩ BD ＝ H ，連結(jié) E