【文章內(nèi)容簡介】 【答案】（Ⅰ） 解法 1： 在如圖 1 所示的△ ABC 中 ， 設(shè) (0 3)BD x x? ? ? ，則 3CD x?? ． 由 AD BC? ， 45ACB??知，△ ADC 為等腰直角三角形，所以 3AD CD x? ? ? . 由折起前 AD BC? 知，折起后（如圖 2）， AD DC? ， AD BD? ，且 BD DC D? ， 所以 AD? 平面 BCD ． 又 90BDC??，所以 11 ( 3 )22B C DS B D C D x x? ? ? ? ?．于是 1 1 1 1( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) ( 3 )3 3 2 1 2A B C D B C DV A D S x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 31 2 ( 3 ) ( 3 ) 21 2 3 3x x x? ? ? ?????????， 當(dāng)且僅當(dāng) 23xx?? ，即 1x? 時(shí)，等號成立， 故當(dāng) 1x? ，即 1BD? 時(shí) , 三棱錐 A BCD? 的體積最大． 解法 2： 同解法 1，得 321 1 1 1( 3 ) ( 3 ) ( 6 9 )3 3 2 6A B C D B C DV A D S x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?． 令 321( ) ( 6 9 )6f x x x x? ? ?，由 1( ) ( 1)( 3 ) 02f x x x? ? ? ? ?，且 03x?? ，解得 1x? ． 當(dāng) (0,1)x? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ；當(dāng) (1,3)x? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ． 所以當(dāng) 1x? 時(shí)， ()fx取得最大值． 故當(dāng) 1BD? 時(shí) , 三棱錐 A BCD? 的體積最大． （ Ⅱ ） 解法 1： 以 D 為原點(diǎn)，建立如圖 a 所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ． 由（ Ⅰ ）知，當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時(shí)， 1BD? ， 2AD CD??． 于是可得 (0, 0, 0)D ， (1,0,0)B ， (0,2, 0)C ， (0, 0, 2)A ， (0,1,1)M ， 1( ,1, 0)2E， 且 ( 1, 1, 1)BM ?? ． D A B C A C D B 圖 2 圖 1 M E . 16 設(shè) (0, ,0)N ? ，則 1( , 1, 0)2EN ?? ? ?. 因?yàn)?EN BM? 等價(jià)于 0EN BM??， 即 11( , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) 1 022??? ? ? ? ? ? ? ?， 故 12?? ， 1(0, , 0)2N . 所以當(dāng) 12DN?（ 即 N 是 CD 的 靠近點(diǎn) D 的 一個(gè)四等分點(diǎn) ）時(shí) ， EN BM? ． 設(shè)平面 BMN 的 一個(gè) 法 向量 為 ( , , )x y z?n ，由 ,BNBM? ??????nn 及 1( 1, ,0)2BN ??， 得 2,.yxzx??? ??? 可 取 (1, 2, 1)??n ． 設(shè) EN 與平面 BMN 所成角的大小為 ? ，則由 11( , , 0)22EN ? ? ?， (1, 2, 1)??n ，可得 1| 1 | 32sin c o s( 9 0 )2| | | | 262ENEN?????? ? ? ? ?? ?nn，即 60?? ． 故EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. 解法 2： 由（ Ⅰ ）知，當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時(shí)， 1BD? ， 2AD CD??． 如圖 b， 取 CD 的中點(diǎn) F ，連結(jié) MF ， BF ， EF ，則 MF ∥ AD . 由（ Ⅰ ）知 AD? 平面 BCD ， 所以 MF? 平面 BCD . 如圖 c，延長 FE 至 P 點(diǎn)使得 FP DB? ，連 BP ， DP ，則四邊形 DBPF 為正方形， 所以 DP BF? . 取 DF 的中點(diǎn) N ， 連結(jié) EN ， 又 E 為 FP 的中點(diǎn)，則 EN ∥ DP ， 所以 EN BF? . 因?yàn)?MF? 平面 BCD ， 又 EN? 面 BCD ，所以 MF EN? . 又 MF BF F? ， 所以 EN? 面 BMF . 又 BM? 面 BMF ，所以 EN BM? . 因?yàn)?EN BM? 當(dāng)且僅當(dāng) EN BF? ，而點(diǎn) F 是唯一的，所以點(diǎn) N 是唯一的 . 即 當(dāng) 12DN?（ 即 N 是 CD 的 靠近點(diǎn) D 的 一個(gè)四等分點(diǎn) ） ， EN BM? ． C A D B 圖 a E M x y z 圖 b C A D B E F M N 圖 c B D P C F N E B G M N E H 圖 d 第 19 題解答圖 N 17 連接 MN ， ME ，由計(jì)算得 52N B N M E B E M? ? ? ?， 所以 △ NMB 與 △ EMB 是兩個(gè)共底邊的 全等的 等腰三角形， 如圖 d 所示， 取 BM 的中點(diǎn) G ，連接 EG ， NG ， 則 BM? 平面 EGN ． 在平面 EGN 中，過點(diǎn) E 作 EH GN? 于 H ， 則 EH? 平面 BMN ． 故 ENH? 是 EN 與平面 BMN 所成的角． 在 △ EGN 中，易得 22E G G N N E? ? ?，所以 △ EGN 是正三角形， 故 60ENH??，即 EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. 28.【 2022 高考真題新課標(biāo)理 19】 （本小題滿分 12 分） 如圖，直三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中，112AC BC AA??， D 是棱 1AA 的中點(diǎn)， BDDC ?1 （ 1）證明： BCDC ?1 （ 2） 求二面角 11 CBDA ?? 的大小 . 【答案】 （ 1）在 Rt DAC? 中， AD AC? 得： 45ADC ??? 同理： 1 1 14 5 9 0A D C CD C??? ? ? ? ? 得： 1 1 1,D C D C D C B D D C? ? ? ?面 1BCD DC BC?? （ 2） 11,D C B C CC B C B C? ? ? ?面 11AC C A BC AC?? 取 11AB 的中點(diǎn) O ，過點(diǎn) O 作 OH BD? 于點(diǎn) H ，連接 11,COCH 1 1 1 1 1 1 1A C B C C O A B? ? ?，面 1 1ABC? 面 1ABD 1CO??面 1ABD 1O H B D C H B D? ? ? 得：點(diǎn) H 與點(diǎn) D 重合 18 且 1CDO? 是二面角 11 CBDA ?? 的平面角 設(shè) AC a? ，則1 22aCO?， 1 1 12 2 30C D a C O C D O ?? ? ? ? ? 既二面角 11 CBDA ?? 的大小為 30? 29.【 2022高考江蘇 16】 （ 14分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1 1 1 1AB AC? ， DE， 分別是棱 1BC CC， 上的點(diǎn)（點(diǎn) D 不同于點(diǎn) C ），且 AD DE F? ， 為 11BC 的中點(diǎn)． 求證：（ 1）平面 ADE? 平面 11BCCB ； （ 2）直線 1 //AF 平面 ADE ． 【答案】 證明：（ 1） ∵ 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱， ∴ 1CC? 平面 ABC 。 又 ∵ AD? 平面 ABC ， ∴ 1CC AD? 。 又 ∵ 1AD DE C C DE??， ，平面 1 1 1B CC B CC D E E?， ， ∴ AD? 平面11BCCB 。 又 ∵ AD? 平面 ADE ， ∴ 平面 ADE? 平面 11BCCB 。 （ 2） ∵ 1 1 1 1AB AC? ， F 為 11BC 的中點(diǎn)， ∴ 1 1 1AF BC? 。 又 ∵ 1CC? 平面 1 1 1ABC ，且 1AF? 平面 1 1 1ABC ， ∴ 11CC AF? 。 又 ∵ 1 1 1 CC BC ?， 平面 11BCCB ， 1 1 1 1CC B C C? ， ∴ 1AF? 平面 1 1 1ABC 。 由（ 1）知， AD? 平面 11BCCB ， ∴ 1AF ∥ AD 。 又 ∵ AD? 平面 1, ADE AF? 平面 ADE ， ∴ 直線 1 /