【正文】 PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）證明 PC⊥ AD； （Ⅱ）求二面角 APCD的正弦值； （Ⅲ）設(shè) E為棱 PA上的點(diǎn)，滿足異面直線 BE與 CD所成的角為 30176。求 PD 與平面 PBC 所成角的大小 . 【答案】 32 39.【 2022 高考真題山東理 18】 （ 18）（本小題滿分 12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ CD ， 60 ,D AB FC? ? ?平面 33 ,ABC D AE BD C B C D C F? ? ?. （Ⅰ）求證： BD? 平面 AED ； （Ⅱ）求二面角 F BD C??的余弦值 . 【答案】 34 35 40.【 2022高考真題湖南理 18】 （本小題滿分 12分） 如圖 5，在四棱錐 PABCD中， PA⊥平面 ABCD， AB=4， BC=3， AD=5，∠ DAB=∠ ABC=90176。 解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 30 則 B(2,0,0),C(2， 22 ,0),E(1， 2 ,1)， ∴ AE =(1， 2 ,1)， BC =(0, 22 ,0), 設(shè) AE 與 BC 的夾角為 ? ，則 ACAEACAE ???cos = 22222 4 ?? , 又∵ 0＜ ? ≤ 2? ，∴ ? = 4? 。 （ 2）解法一：取 PB 的中點(diǎn) F，連接 EF,AF, 則 EF∥ BC，∴∠ AEF(或其補(bǔ)角 )是異面直線 BC 與 AE 所成的角。 37.【 2022 高考真題上海理 19】 （ 6+6=12 分）如圖，在四棱錐 ABCDP? 中，底面 ABCD 是矩形， ?PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中點(diǎn)，已知 2?AB ， 22?AD ， 2?PA ，求： （ 1）三角形 PCD 的面積； （ 2）異面直線 BC 與 AE 所成的角的大小。 （Ⅲ） 11,A O B C A O B C A O A? ? ? ?是二面角 1A BC A??的平面角 。 【解析】 (綜合法 ) （ I）取 11,BCBC 的中點(diǎn)為點(diǎn) 1,OO，連接 1 1 1 1, , ,AO O O A O A O， 則 AB AC AO BC? ? ?，面 ABC? 面 11BBCC AO??面 11BBCC ， 同理： 11AO? 面 11BBCC 得： 1 1 1 1/ / , , ,A O A O A O A O? 共面 ， 又 11,OO BC OO AO O? ? ?BC? 面 1 1 1AOO A AA BC??。 【答案】本題考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定?，F(xiàn)將該平面圖形分別沿 BC 和 11BC 折疊，使 ABC? 與1 1 1ABC? 所在平面都與平面 11BBCC 垂直，再分別連接 111,AA BA CA ,得到如圖 2 所示的空間圖形，對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題。 （ 1）證明在側(cè)棱 AA1 上存在一點(diǎn) E，使得 OE⊥平面 BB1C1C，并求出 AE 的長(zhǎng)； （ 2）求平面 A1B1C 與平面 BB1C1C 夾角的余弦值。 【 答案 】 (Ⅰ )如圖連接 BD． ∵ M， N 分別為 PB， PD 的中點(diǎn)， ∴在 ? PBD 中， MN∥ BD． 又 MN? 平面 ABCD， ∴ MN∥ 平面 ABCD； (Ⅱ )如圖建系： A(0， 0， 0)， P(0， 0， 26)， M( 32? ， 32 ， 0)， N( 3 ， 0， 0)， C( 3 ， 3， 0)． 設(shè) Q(x， y， z)，則 ( 3 3 ) ( 3 3 2 6 )C Q x y z C P? ? ? ? ? ?， ， ， ， ，． ∵ ( 3 3 2 6 )C Q C P? ? ? ?? ? ? ?， ，∴ ( 3 3 3 3 2 6 )Q ? ? ???， ，． 由 0O Q C P O Q C P? ? ? ?，得： 13?? ． 即： 2 3 2 6( 2 )33Q ， ， ． 對(duì)于平面 AMN：設(shè)其法向量為 ()n a b c? ， ， ． ∵ 33( 0 ) = ( 3 0 0 )22A M A N?? ， ， ， ， ，． 25 則33330 0 122 30 300aA M n abbA N n ac???????? ? ? ? ???? ? ?? ? ???? ??? ?? ????． ∴ 31( 0)33n ? ， ， ． 同理對(duì)于平面 AMN 得其法向量為 ( 3 1 6)v ??， ， ． 記所求二面角 A— MN— Q 的平面角大小為 ? ， 則 10cos5nvnv? ????． ∴所求二面角 A— MN— Q 的平面角的余弦值為 105 ． 34.【 2022 高考真題重慶理 19】（本小題滿分 12分 如圖，在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， AB=4，AC=BC=3， D為 AB 的中點(diǎn) （Ⅰ）求點(diǎn) C到平面 11ABBA 的距離 。 33.【 2022 高考真題浙江理 20】 (本小題滿分 15 分 )如圖，在四棱錐 P— ABCD 中，底面是邊長(zhǎng)為 23的菱形，且∠ BAD＝ 120176。 （ 3）設(shè) 線段 BC 上存在點(diǎn) P ，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?00a， ， ，則 ? ?03a? ， 則 ? ?1 0 2 3A P a??， ， ? ?20DP a? ， ， 設(shè)平面 1ADP 法向 量為 ? ?1 1 1 1n x y z? ， ， ， 則 11112 3 020ay zx ay? ???? ???? ∴ 11113612z ayx ay? ????? ???? ∴ ? ?1 3 6 3n a a?? ， ， 。 BC=3， AC=6， D， E 分別是 AC， AB 上的點(diǎn)，且 DE∥ BC，DE=2，將△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，使 A1C⊥ CD,如圖 2. (I)求證 ： A1C⊥ 平面 BCDE； (II)若 M 是 A1D 的中點(diǎn) ， 求 CM 與平面 A1BE 所成角的大小 ； (III)線段 BC 上是否存在點(diǎn) P，使平面 A1DP 與平面 A1BE 垂直？說(shuō)明理由 【答案】 解： （ 1） CD DE? ， 1AE DE? ? DE? 平面 1ACD ， 23 又 1AC? 平面 1ACD ， ? 1AC? DE 又 1AC CD? ， ? 1AC? 平面 BCDE 。 【答案】 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，線面角的概念，二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象 能力，利用向量解決立體幾何問(wèn)題的能力 . 20 21 31.【 2022 高考真題福建理 18】 如圖，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中 AA1=AD=1， E為 CD中點(diǎn) . （Ⅰ）求證： B1E⊥ AD1； （Ⅱ）在棱 AA1 上是否存在一點(diǎn) P，使得 DP∥平面 B1AE？若存在，求 AP 的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由 . （Ⅲ）若二面角 AB1EA1的大小為 30176。 30.【 2022 高考真題四川理 19】 (本小題滿分 12 分 ) 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 90APB??， 60PAB??， AB BC CA??，平面PAB? 平面 ABC 。 19 它可由已知 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱和 AD DE? 證得。 又 ∵ AD? 平面 1, ADE AF? 平面 ADE ， ∴ 直線 1 //AF 平面 ADE 【考點(diǎn)】 直線與平面、平面與平面 的位置關(guān)系。 又 ∵ 1 1 1 CC BC ?， 平面 11BCCB ， 1 1 1 1CC B C C? ， ∴ 1AF? 平面 1 1 1ABC 。 （ 2） ∵ 1 1 1 1AB AC? ， F 為 11BC 的中點(diǎn)， ∴ 1 1 1AF BC? 。 又 ∵ 1AD DE C C DE??， ，平面 1 1 1B CC B CC D E E?， ， ∴ AD? 平面11BCCB 。 16 設(shè) (0, ,0)N ? ，則 1( , 1, 0)2EN ?? ? ?. 因?yàn)?EN BM? 等價(jià)于 0EN BM??， 即 11( , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) 1 022??? ? ? ? ? ? ? ?， 故 12?? ， 1(0, , 0)2N . 所以當(dāng) 12DN?（ 即 N 是 CD 的 靠近點(diǎn) D 的 一個(gè)四等分點(diǎn) ）時(shí) ， EN BM? ． 設(shè)平面 BMN 的 一個(gè) 法 向量 為 ( , , )x y z?n ，由 ,BNBM? ??????nn 及 1( 1, ,0)2BN ??， 得 2,.yxzx?