【正文】 8 分 （ III）解：連結(jié) BC′交 EQ 于點(diǎn) M． 因?yàn)?PH AD?∥ ， PQ AB∥ ， 所以平面 ABCD?? 和平面 PQGH互相平行，因此 DE? 與平面 PQGH所成角與 DE? 與平面 ABCD??所成角相等 ． A B C D E F P Q H A? B? C? D? G A B C D E F P Q H A? B? C? D? G N M 31 與（ Ⅰ ）同理可證 EQ⊥平面 PQGH， 可知 EM⊥平面 ABCD?? ，因此 EM與 DE? 的比值就是所求的正弦值 ． 設(shè) AD? 交 PF 于點(diǎn) N， 連結(jié) EN，由 1FD b?? 知 2 22( 1 ) 2 ( 1 )22D E b N D b??? ? ? ? ? ?，． 因?yàn)?AD? ⊥平面 PQEF， 又已知 DE? 與平面 PQEF 成 45 角， 所以 2D E ND??? ， 即 2222 ( 1 ) ( 1 ) 222 bb??? ? ? ? ?????， 解得 12b? ， 可知 E 為 BC 中點(diǎn) ． 所以 EM= 24 ， 又 2 3(1 ) 2 2D E b? ? ? ? ?， 故 DE? 與平面 PQCH 所成角的正弦值為 26EMDE?? ． 4 分 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知 22P F A P P H P A ???， ，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面積之和是 ( 2 2 ) 2A P P A P Q?? ? ?，是定值 ． 滿分 12 分． 解法一： （ Ⅰ ）證明：在 正方體 中， AD AD??? ， AD AB?? ，又由已知可得 PF AD?∥ ， PH AD?∥ ， PQ AB∥ ， 所以 PH PF? ， PH PQ? ， 所以 PH? 平面 PQEF ． 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直． (2) / / , P E P GE G B C E B G C??,而 PE DFEB F? ,即 , / /P G D F G F P DG C D C?? , GF BC??， GF EG??, EFG?? 是直角三角形； （ 3） 12PEEB? 時(shí) 13EG PEBC PB??, 23GF CFPD CD??, 即 1 1 2 2 2 4 22 c o s 4 5 , 2 23 3 3 3 3 3E G B C R R G F P D R R? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, EFG?? 的面積 21 1 2 4 2 42 2 3 3 9EFGS E G G F R R R? ? ? ? ? ? 浙江卷 （ 18）（本題 14 分）如圖 ,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， BE//CF，? BCF=? CEF= ?90 ,AD= 3 ,EF=2。從而 AD⊥ （ 19）圖 2中，因 ADEB是直二面角， AD⊥ DE,故AD⊥底面 DBCE，從而 AD⊥ DB⊥ BC,故 DB 為異面直線 AD與 BC的公垂線 . 下求 DB 之長(zhǎng) .在答（ 19）圖 1 中，由 2AD AECB BC??，得 ADBC AB?? 又已知 DE=3,從而 DE?? 2222 15 9 6.22AB AC BC ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 因 1 , DBAB ? 故 ＝ （Ⅱ）在第（ 19）圖 2中，過 D作 DF⊥ CE,交 CE的延長(zhǎng)線于 F，連接（ 1）知， AD⊥底面 DBCE,由三垂線定理知 AF⊥ FC,故∠ AFD為二面角 ABCB的平面 25 角 . 在底面 DBCE中，∠ DEF=∠ BCE, 1 1 5 52 , ,3 2 2D B E C? ? ? 因此 4sin .5DBB CE EC?? 從而在 Rt△ DFE中， DE=3, 4 1 2s in s in 3 .55D F D E D E F D E B C E? ? ? ? 在 5R t , 4 , ta n .3ADA F D A D A F D DF? ? ? ?中 因此所求二面角 AECB的大小為 解法二： （Ⅰ）同解法一 . （Ⅱ）如答（ 19）圖 （Ⅰ）知，以 D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， DBDEDA、 、 的方向?yàn)?x、 y、 z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 D（ 0， 0， 0）， A（ 0， 0， 4）， 9202C??????， ， ， E（ 0， 3， 0） . 3 02A D A D??????＝ 2 ， ， ， ＝ （ 0， 0， 4 ） .過 D作 DF⊥ CE,交 CE的延長(zhǎng)線 于 F，連接 AF. 設(shè) 00( , ,0),F x y 從而 00( , ,0),DF x y? 00( , 3 , 0 ) .E F x y D F C E? ? ?由，有 0030 , 2 0 .2D F C E x y? ? ?即 ① 又由 00 3,.32 2xyCE E F ??得 ② 聯(lián)立①、②，解得00 3 6 4 8 3 6 4 8 3 6 4 8, . , , 0 , , 4 .2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5x y F A F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 ， 得 因?yàn)?3 6 4 8 3( 2 ) 02 5 2 5 2A F C E ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,故 AF CE? ,又因 DF CE? ,所以 DFA? 為所 求 的 二 面 角 AECB 的 平 面 角 . 因 3 6 4 8, , 0 ,2 5 2 5DF ????????有 26 223 6 4 8 1 2 , 4 ,2 5 2 5 5D F A D? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?所以 5ta n .3ADAFDDF?? 因此所求二面角 AECB的大小為 5arctan .3 福建卷 （ 18）（本小題滿分 12 分） 如圖，在四棱錐 PABCD中，則面 PAD⊥底面 ABCD，側(cè)棱PA=PD＝ 2 ，底面 ABCD 為直角梯形，其中 BC∥ AD,AB⊥ AD,AD=2AB=2BC=2,O 為 AD 中點(diǎn) . （Ⅰ）求證： PO⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求異面直線 PD 與 CD 所成角的大?。? （Ⅲ）線段 AD 上是否存在點(diǎn) Q，使得它到平面 PCD 的距離為 32 ？若存在，求出 AD 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 . 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算 能力 .滿分 12 分 . 解法一： （Ⅰ）證明：在△ PAD 中 PA=PD,O 為 AD 中點(diǎn)，所以 PO⊥AD, 又側(cè)面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD? 平面 ABCD=AD, PO? 平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD. （Ⅱ）連結(jié) BO，在直角梯形 ABCD 中、 BC∥ AD， AD=2AB=2BC, 有 OD∥ BC 且 OD=BC,所以四邊形 OBCD 是平行四邊形， 所以 OB∥ DC. 由（Ⅰ）知， PO⊥ OB,∠ PBO 為銳角， 所以 ∠ PBO 是異面直線 PB 與 CD 所成的角 . 因?yàn)?AD=2AB=2BC=2,在 Rt△ AOB 中， AB=1,AO=1, 所以 OB＝ 2 ， 在 Rt△ POA 中，因?yàn)?AP＝ 2 ， AO＝ 1，所以 OP＝ 1， 在 Rt△ PBO 中， tan∠ PBO＝ 1 2 2, a r c t a n .222PG PBOBC ? ? ? ? 所以異面直線 PB 與 CD 所成的角是 2arctan 2 . 27 （Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn) Q，使得它到平面 PCD 的距離 為 32 . 設(shè) QD＝ x，則 12DQCSx? ?，由（Ⅱ）得 CD=OB= 2 ， 在 Rt△ POC 中， 22 2,P C O C O P? ? ? 所以 PC=CD=DP, 233( 2 ) ,42P C DS ? ?? 由 VpDQC=VQPCD,得 2，所以存在點(diǎn) Q 滿足題意，此時(shí) 13AD?. 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OC ODOP、 、 的方向分別為 x軸、 y軸、 z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,依題意，易得 A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以 1 1 0 1 1 1C D P B? ? ?＝ （ ， ， ） ， ＝ （ ， ， ） . 所以異面直線 PB與 CD所成的角是 arccos 63 ， (Ⅲ )假設(shè)存在點(diǎn) Q，使得 它到平面 PCD的距離為 32 ， 由 (Ⅱ )知 ( 1, 0 ,1 ) , ( 1,1, 0 ) .C P C D? ? ? ? 設(shè)平面 PCD的法向量為 n=(x0,y0,z0). 則 0,0,n CPn CD? ??????所以 00000,0,xzxy? ? ???? ? ??即 0 0 0x y z??， 取 x0=1,得平面 PCD的一個(gè)法向量為 n=(1,1,1). 設(shè) ( 0 , , 0 ) ( 1 1 ) , ( 1 , , 0 ) ,Q y y C Q y? ? ? ? ?由 32CQ nn ?，得 1 3 ,23y?? ?解 y=12 或y=52 (舍去 )， 此時(shí) 13,22AQ Q D??，所以存在點(diǎn) Q滿足題意，此時(shí) 13AD?. 廣東卷 20．（本小題滿分 14 分） 28 如圖 5 所示，四棱錐 P ABCD? 的底面 ABCD 是半徑為 R 的圓的內(nèi)接四邊形，其中 BD 是圓的直徑， 60ABD??， 45BDC??， PD 垂直底面 ABCD ， 22PD R? ， EF， 分別是 PB CD， 上的點(diǎn)，且 PE DFEB FC? ，過點(diǎn) E 作 BC 的平行線交 PC 于 G ． （ 1）求 BD 與平面 ABP 所成角 ? 的正弦值；（ 2）證明： EFG△ 是直角三角形； （ 3）當(dāng) 12PEEB? 時(shí)，求 EFG△ 的面積． 【解析】 （ 1）在 Rt BAD? 中， 60ABD??， ,3A B R A D R? ? ? 而 PD垂直底面 ABCD， 2 2 2 2( 2 2 ) ( 3 ) 1 1P A P D A D R R R? ? ? ? ? 2 2 2 2( 2 2 ) ( 2 ) 2 3P B P D B D R R R? ? ? ? ?, 在 PAB? 中， 2 2 2PA AB PB??,即 PAB? 為以 PAB? 為直角的直角三角形。知， △ BCD 是等邊三角形 .因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 BE⊥ CD,又 AB∥ CD, 所以 BE⊥ PA⊥平面 ABCD， BE? 平面 ABCD，所以 PA⊥ PA? AB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB. （Ⅱ）延長(zhǎng) AD、 BE 相交于點(diǎn) F，連結(jié) PF. 21 過點(diǎn) A 作 AH⊥ PB 于 H，由（Ⅰ）知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ ABF 中，因?yàn)椤?BAF＝ 60176。 E 是 CD 的中點(diǎn)， PA⊥底面 ABCD， PA＝ 2. （Ⅰ）證明：平面 PBE⊥平面 PAB。 則1 3( , 0, 2)2AB ??。 NMB 1C 1A 1HFECBAO 18 所以 11ta n 5OCO NC ON? ? ?，故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 作 EM ⊥ 1OB 于 M ，則 EM ∥ OA ，則 M 是 OB 的中點(diǎn)，則 1EM OM??。 （ 2）作 ON ⊥ 11AB 于 N ，連 1CN。 又 H 是 EF 的中點(diǎn)，所以 AH ⊥ EF ，則AH ⊥ 11BC 。 sin45176。 cos30176。 sin30176。可得△ABC 為正三角形 . 因?yàn)? E 為 BC 的中點(diǎn)，所以 AE⊥ BC. 又 BC∥ AD，因此 AE⊥ AD. 因?yàn)?PA⊥平面 ABCD， AE? 平面 ABCD，所以 PA⊥ AE. 而 PA ? 平面 PAD， AD? 平面 PAD 且 PA∩ AD=A， 所以 AE⊥平面 PAD，又 PD? 平面 PAD. 所以 AE⊥ PD. （Ⅱ）解：設(shè)