【正文】 AB=2， H 為 PD 上任意一點(diǎn)，連接 AH，EH. 由（Ⅰ）知 AE⊥平面 PAD， 則∠ EHA 為 EH 與平面 PAD 所成的角 . 在 Rt△ EAH 中， AE= 3 ， 所以 當(dāng) AH 最短時(shí)，∠ EHA 最大， 即 當(dāng) AH⊥ PD 時(shí)，∠ EHA 最大 . 此時(shí) tan∠ EHA= 36,2AEAH AH?? 因此 AH= 2 .又 AD=2，所以∠ ADH=45176。 方法一（綜合法） （ 1） 取 OB 中點(diǎn) E，連接 ME， NE M E C D M E C D?，‖ A B ,A B ‖ ‖ 又 ,N E O C M N E O C D? 平 面 平 面‖ ‖ M N O C D? 平 面‖ （ 2） CD‖ AB, MDC?∴ 為異面直線 AB 與 MD 所成的角（或其補(bǔ)角 ） 作 ,AP CD P? 于 連接 MP ??平 面 A B C D ，∵ OA ∴ C D M P 14 x yzNMABDCOP 2,42A D P ???∵ ∴ DP = 22 2M D M A A D? ? ?， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD ?? ? ? ? ? ? ?∴ 所以 AB 與 MD 所成角 的大小為 3? （ 3） AB 平 面∵ ∴‖ OCD,點(diǎn) A和點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離相等 ，連接 OP,過(guò)點(diǎn) A作 AQ OP? 于點(diǎn) Q， , , ,A P C D O A C D C D O A P A Q C D? ? ? ?平 面∵ ∴ ∴ 又 ,A Q O P A Q O C D?? 平 面∵ ∴ ,線段 AQ 的長(zhǎng)就是點(diǎn) A到平面 OCD 的距離 2 2 2 2 2 1 3 24122O P O D D P O A A D D P? ? ? ? ? ? ? ? ?∵， 22AP P?? 22223322O A A PAQOP? ? ?∴，所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 方法二 (向量法 ) 作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO 所在直線為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N??, (1) 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 OCD 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n O P n O D?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 22(1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n ? ? ? ?∵ M N O C D? 平 面‖ (2)設(shè) AB 與 MD 所成的角 為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 15 1c o s ,23A B M DA B M D???? ? ??∴ ∴ , AB 與 MD 所成角 的大小為 3? (3)設(shè)點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對(duì)值 , 由 (1,0, 2)OB ??, 得 23OB ndn???.所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 山東卷 (20)(本小題滿分 12 分 ) 如圖，已知四棱錐 PABCD，底面 ABCD 為菱形， PA⊥平面ABCD， 60ABC? ? ? ,E， F 分別是 BC, PC 的中點(diǎn) . （Ⅰ）證明： AE⊥ PD。 2 1 32 2 3A D A EB M M N DE?? ? ? ?， 故 6ta n 2BMB M N MN? ? ? 所以 二面角 A ED B??的大小 6arctan 2 【解 2】： 由平面 ABEF? 平面 ABCD ， AF AB? ，得 AF? 平面 ABCD ，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB 為 x 軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 A xyz? （ Ⅰ ）設(shè) ,A B a B C b B E c? ? ?, ，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , 0 , , 0 , , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 2B a C a b E a c D b F c, ? ? ? ?0 , , , 0 , 2 , 2E C b c F D b c? ? ? ? 故 12EC FD? ，從而由點(diǎn) E FD? ，得 //EC FD 故 , , ,C DF E 四點(diǎn)共面 （ Ⅱ ）設(shè) 1AB? ，則 1BC BE??， ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 , 1 ,1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 ,1B C D E 12 在 DE 上取點(diǎn) M ，使 5DM ME? ，則 5 1 5,6 3 6M?????? 從而 1 1 5,6 3 6MB ??? ? ????? 又 ? ?1 , 2 ,1 , 0 ,D E M B D E M B D E? ? ? ? ? 在 DE 上取點(diǎn) N ，使 2DN NE? ，則 222,333N?????? 從而 222, , , 0 ,333N A N A D E N A D E??? ? ? ? ? ? ????? 故 MB 與 NA 的夾角等于二面角 A DE B??的平面角， 10c o s5M B N AM B N A M B N A?? ? ?? 所以 二面角 A DE B??的大小 10arccos 5 天津卷（ 19）（本小題滿分 12 分） 如圖，在四棱錐 ABCDP? 中，底面 ABCD 是矩形．已知?60,22,2,2,3 ?????? PABPDPAADAB ． （Ⅰ）證明 ?AD 平面 PAB； （Ⅱ）求異面直線 PC與 AD 所成的角的大??； （Ⅲ）求二面角 ABDP ?? 的大小． （ 19）本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．滿分 12 分． （Ⅰ）證明：在 PAD? 中，由題設(shè) 22,2 ?? PDPA 可得 222 PDADPA ?? 于是 PAAD? .在矩形 ABCD 中， ABAD? .又 AABPA ?? ， 所以 ?AD 平面 PAB． （Ⅱ）解：由題設(shè)， ADBC// ，所以 PCB? （或其補(bǔ)角）是異面直線 PC 與 AD 所成的角 . 在 PAB? 中，由余弦 定理得 由（Ⅰ）知 ?AD 平面 PAB， ?PB 平面 PAB， 所以 PBAD? ，因而 PBBC? ，于是 PBC? 是直角三角形，7c o s222 ?????? P A BABPAABPAPB 13 NMABDCO故 27tan ?? BCPBP C B ． 所以異面直線 PC與 AD 所成的角的大小為 27arctan ． （Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn) P 做 ABPH? 于 H，過(guò)點(diǎn) H 做 BDHE? 于 E，連結(jié) PE 因?yàn)??AD 平面 PAB， ?PH 平面 PAB，所以 PHAD? .又 AABAD ?? ， 因而 ?PH 平面 ABCD ，故 HE 為 PE 再平面 ABCD 內(nèi)的射影 .由三垂線定理可知， PEBD? ，從而 PEH? 是二面角 ABDP ?? 的平面角。 （ Ⅱ ）設(shè) 1AB? ，則 1BC BE??， 2AD? 取 AE 中點(diǎn) M ，則 BM AE? ，又由已知得， AD? 平面 ABEF 故 AD BM? ， BM 與平面 ADE 內(nèi)兩相交直線 AD AE、 都垂直。GB GBGA GA?，即 G 與 39。 12G E G B B EG F G A A F? ? ? 故 39。G 同理可得 39。 9 分 1AC，n等于二面角 1A DE B??的平面角， 4214,c o s 1 11 ??? CAn CAnCAn． 所以 二面角 1A DE B??的大小為 14arccos 42 ． 3 分 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 8 （ Ⅰ ）因?yàn)?1 0AC DB? ， 1 0AC DE? ， 故 1AC BD? ， 1AC DE? ． 又 DB DE D? ， 所以 1AC? 平面 DBE ． 12 分 解法二： 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA 為 x 軸的正半軸， 建立如圖所示直角坐標(biāo)系 D xyz? ． 依題設(shè)， 1( 2 2 0 ) ( 0 2 0 ) ( 0 2 1 ) ( 2 0 4 )B C E A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． ( 0 2 1) (2 2 0 )D E D B??， ， ， ， ， 11( 2 2 4 ) ( 2 0 4 )A C D A? ? ? ?， ， ， ， ，． 8 分 22 3E F C F C E? ? ?， 23C E C FCG EF???， 22 33E G C E C G? ? ?． 13EGEF? ， 123 15E F F DGH DE?? ? ?． 又 2211 26A C A A A C? ? ?，11 563A G A C C G? ?． 11ta n 5 5AGA H G HG? ? ?． 所以二面角 1A DE B??的大小為 arctan5 5 ． 3 分 在平面 1ACA 內(nèi)，連結(jié) EF 交 1AC 于點(diǎn) G ， 由于 1 22AA ACFC CE??， 故 1R t R tA AC FC E△ ∽ △， 1AA C CFE? ? ? ， CFE? 與 1FCA? 互余． 于是 1AC EF? ． 1AC 與平面 BED 內(nèi)兩條相交直線 BD EF， 都垂直， 所以 1AC ? 平面 BED ． 9π2 9.（ 遼 寧卷 14） 在體積為 43? 的球的表面上有 A， B， C 三點(diǎn)， AB=1， BC= 2 ， A， C兩點(diǎn)的球 面 距離為 33? ，則球心到平面 ABC 的距離為 _________． 32 三．解答題： 1.（ 全國(guó)一 18） （本小題滿分 12 分） PP圖 1 2圖 6 （注意： 在試題卷上作答無(wú)效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側(cè)面 ABC? 底面 BCDE ， 2BC? ， 2CD? ，AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （ Ⅱ ）設(shè) CE 與平面 ABE 所成的角為 45 ，求二面角 C AD E??的大?。? 解：（ 1）取 BC 中點(diǎn) F ，連接 DF 交 CE 于點(diǎn) O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2t a n t a n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90O E D O D E? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內(nèi)過(guò) C 點(diǎn)作 AD 的 垂線 ，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求 二面角 的平面角． 233A C C DCG AD??， 63DG? ， 22 303E G D E D G? ? ?， 6CE? ，則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C EC G E C G G E??? ? ? ?， 10π a r c c os 10C GE ??? ? ? ? ????，即 二 面角 C AD E??的大小 10π arccos10??? ????． 2.（ 全國(guó)二 19） （本小題滿分 12 分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABC D A B C D? 中， 1 24AA AB??，點(diǎn) E 在 1CC 上且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ）證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ）求二面角 1A DE B??的大?。? 解法一： 依題設(shè)知 2AB? ， 1CE?