【正文】 反三角函數表示） . 解法一： （Ⅰ）在答（ 19）圖 1中，因 AD AEDB CE? ，故 BE∥ B＝ 90176。 （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小 . 解 : 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結 BD，由 ABCD 是菱形且∠ BCD=60176。 則點 B 到平面 1 1 1ABC 的距離為 11132 666A B ndn? ??? ? ? 湖北卷 18.（本小題滿分 12 分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中，平面 ABC? 側面 11AABB . （Ⅰ）求證： AB BC? ； （Ⅱ）若直線 AC 與平面 1ABC 所成的角為 ? ,二面角1A BC A??的大小為 ? ，試判斷 ? 與 ? 的大小關系 ，并予以證明 . 、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力 .（滿分 12 分） （Ⅰ）證明：如右圖，過點 A 在平面 A1ABB1內作 AD⊥ A1B 于 D，則 由平面 A1BC⊥側面 A1ABB1,且平面 A1BC 側面 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC,又 BC? 平面 A1BC， 所以 AD⊥ BC. 因為三棱柱 ABC— A1B1C1是直三棱柱， 則 AA1⊥底面 ABC， 所以 AA1⊥ BC. 又 AA1 AD=A,從而 BC⊥側面 A1ABB1， 又 AB? 側面 A1ABB1，故 AB⊥ BC. （Ⅱ）解法 1：連接 CD，則由（Ⅰ）知 ACD? 是直線 AC 與平面 A1BC 所成的角， 1ABA? 是二面角 A1— BC— A 的平面角，即 1,A CD A B A? ? ? ? ? ? 于是在 Rt△ ADC 中， sin ,ADAC?? 在 Rt△ ADB 中， sin ,ADAB?? 大家網高考論壇 20 由 AB＜ AC，得 sin sin??＜ ， 又 0 2???＜ ， ＜ ， 所以 ??＜ ， 解法 2：由（Ⅰ）知，以點 B 為坐標原點，以 BC、 BA、 BB1 所在的直線分 別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設 AA1=a,AC=b, AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 22 1( , 0 , 0 ) , ( 0 , , ) ,C b c A c a? 于是 22 1( , 0 , 0 ) , ( 0 , , ) ,B C b c B A c a? ? ? 22 1( , , 0 ) , ( 0 , 0 , ) .A C b c c A A a? ? ? ? 設平面 A1BC 的一個法向量為 n=(x,y,z)，則 由 1 0,0,n BAn BC? ??????得220,0,cy azb c x????????? 可取 n=(0,a,c)，于是 0n AC ac AC? ＞ ， 與 n 的夾角 ? 為銳角，則 ? 與 ? 互為余角 . 22s i n c o s ,n A C a cn A C b a c? ? ? ? ? ? 1221c os ,BA BA cBA BA ac? ? ? ?所以 sin ,aac?? ? 于是由 c＜ b，得2 2 2 2 ,a c ab a c a c??＜ 即 sin sin ,??＜ 又 0,2???＜ ， ＜ 所以 ,??＜ 湖南卷 17.（本小題滿分 12 分） 如圖所示，四棱錐 PABCD 的底面 ABCD 是邊長為 1 的菱形，∠ BCD＝ 60176。 解法二： （ 1）以直線 OA OC OB、 、 分別為 xy、 、 z 軸，建立空間直角坐標系， O xyz? 則 11( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , , )22A B C E F H 所以 1 1 1 1( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 2 )2 2 2 2A H O H B C? ? ? ? ? 所以 0 , 0A H B C O H B C? ? ? ? 所以 BC? 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 11BC ∥ BC ，故： 11BC? 平面 OAH (2)由已知1 3( ,0,0),2A設 1(0,0, )Bz 則111( , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 )2A E E B z? ? ? ? ? 由 1AE 與 1EB 共線得 :存在 R?? 有 11AE EB?? 得 113 ( 0 , 0 , 3 )21 ( 1 )zBz??? ? ? ?? ? ? ??? ??? 同理 : 1(0,3,0)C 1 1 1 133( , 0 , 3 ) , ( , 3 , 0 )22A B A C? ? ? ? ? 設 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 1 1 1ABC 的一個法向量 , 則3 3023 302xzxy?? ? ?????? ? ???令 2x? 得 1yx?? 1 (2,1,1).n?? 又 2 (0,1,0)n ? 是平面 11OAB 的一個法量 12 16c o s , 64 1 1nn? ? ? ? ??? 所以二面角的大小為 6arccos 6 B 1C 1A 1HFECBAOx yz大家網高考論壇 19 （ 3）由（ 2）知，1 3( ,0,0)2A， (0,0,2)B ，平面 1 1 1ABC 的 一個法向量為 1 (2,1,1)n ? 。 設 1OB x? ，由 111OB OAMB EM? 得， 312xx ?? ，解得 3x? ， 在 11Rt OAB? 中， 221 1 1 1 3 52A B O A O B? ? ?，則， 111135O A O BON AB???。因為 1OC ⊥ 平面 11OAB ， 根 據三垂線定理知， 1CN⊥ 11AB ， 1ONC? 就是二面角 1 1 1O AB C??的平面角。 因為 OA ⊥ OB ， OA ⊥ OC ， 所以 OA ⊥ 面 OBC ，則 OA ⊥ 11BC ， 因此 11BC ⊥ 面 OAH 。 =324 , 又 22 3 8 3 0 ,4 9 4S E E O S O? ? ? ? ? 在 Rt△ ESO 中， cos∠ ESO=32154 ,5304SOSE ?? 即所求二面角的余弦值為 解法二：由（Ⅰ）知 AE， AD， AP 兩兩垂直，以 A 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又 E、 F 分別為 BC、 PC 的中點，所以 E、 F 分別為 BC、 PC 的中點，所以 A（ 0， 0， 0）， B（ 3 ， 1， 0）， C（ C， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 3 ， 0， 0）， F（ 31, ,122 ）， 所以 31( 3 , 0 , 0 ) , ( , , 1 ) .22A E A F?? 設平面 AEF 的一法向量為 1 1 1( , , ),m x y z? 則 0,0,m AEm AF? ?????? 因此 11 1 13 0 ,31 0.22xx y z? ??? ? ? ??? 取 1 1, ( 0 , 2 , 1),zm? ? ? ?則 因為 BD⊥ AC， BD⊥ PA， PA∩ AC=A， 所以 BD⊥平面 AFC， 故 BD 為平面 AFC 的一法向量 . 又 BD =（ 3,3,0 ）， 大家網高考論壇 17 所以 cos＜ m, BD ＞ = 2 3 1 5 .5| | | | 5 1 2m B Dm B D ???? 因為 二面角 EAFC 為銳角， 所以所求二面角的余弦值為 江蘇 卷 16．在四面體 ABCD 中， CB= CD, AD⊥ BD，且 E ,F 分別是 AB,BD 的中點， 求證：（Ⅰ）直線 EF ∥面 ACD ； （Ⅱ）面 EFC⊥面 BCD ． 【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分別是 AB,BD 的中點， ∴ EF 是△ ABD 的中位線，∴ EF∥ AD， ∵ EF? 面 ACD ， AD? 面 ACD ，∴直線 EF∥面 ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥ BD ， EF∥ AD，∴ EF⊥ BD. ∵ CB=CD, F 是 BD 的中點，∴ CF⊥ BD. 又 EF CF=F，∴ BD⊥面 EFC．∵ BD? 面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ． 江西卷 ．解 ：（ 1）證明：依題設， EF 是 ABC? 的中位線，所以 EF ∥ BC ， 則 EF ∥ 平面 OBC ，所以 EF ∥ 11BC 。 =32 , 又 F 是 PC 的中點，在 Rt△ ASO 中， SO=AO = 32 ， AO=AE 所以 PA=2. 解法一：因為 PA⊥平面 ABCD， PA ? 平面 PAC， 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 過 E 作 EO⊥ AC 于 O，則 EO⊥平面 PAC， 過 O 作 OS⊥ AF 于 S，連接 ES，則∠ ESO 為二面角 EAFC 的平面角， 大家網高考論壇 16 在 Rt△ AOE 中， EO=AE （Ⅱ）若 H 為 PD 上的動點， EH 與平面 PAD 所成最大角的正切值為 62 ，求二面角 E— AF— C 的余弦值 . （Ⅰ）證明：由四邊形 ABCD 為菱形，∠ ABC=60176。 由題設可得， 134,13,2,160c o s,360s i n22???????????????BHBDADHEADABBDAHABBHPAAHPAPH ?? 于是再 PHERT? 中， 439tan ?PEH 所以二面角 ABDP ?? 的大小為 439arctan ． 安徽卷 （ 18）． （本小題滿分 12 分 如圖，在四棱錐 O ABCD? 中，底面 ABCD 四邊長為 1 的菱形， 4ABC ???, O A ABCD? 底 面 , 2OA? ,M 為 OA 的中點， N 為 BC 的中點 （ Ⅰ ）證明：直線 MN OCD平 面‖ ； （ Ⅱ ）求異面直線 AB 與 MD 所成角的大?。? （ Ⅲ ）求點 B 到平面 OCD 的距離。 所以 BM? 平面 ADE ，作 MN DE? ，垂足為 N ，連結 BN 由三垂線定理知 BN ED BMN??， 為二面角 A ED B??的平面角。G 重合 因此直線 CD EF、 相交于點 G ，即 , , ,C D F E 四點共面。39。39。 12 分 3．（ 北京卷 16） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 2AC BC??， 90ACB??， AP BP AB??，PC AC? ． （ Ⅰ ）求證： PC AB? ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C??的大??； （ Ⅲ ）求點 C 到平面 APB 的距離． 解法一： （ Ⅰ ）取 AB 中點 D ，連結 PD CD， ． AP BP? ， PD AB??． AC BC? ， CD AB??． PD CD D? ， AB??平面 PCD ． PC? 平面 PCD ， PC AB??． （ Ⅱ ） AC BC? ， AP BP? ， AP C BP C?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． 又 90ACB??，即 AC BC? ，且 AC PC C? ， A C B D P A C B E P A C B P 大家網高考論壇 9 BC??平面 PAC ． 取 AP 中點 E ．連結 BE CE， ． AB BP? ， BE AP??． EC 是 BE 在平面 PAC 內的射影， CE AP??． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． 在 BCE△ 中， 90BCE??， 2BC? ， 3 62BE AB??， 6s in 3BCBEC BE? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 6arcsin 3 ． （ Ⅲ ）由（ Ⅰ ）知 AB? 平面 PCD