【正文】 . 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OCODOP、 、 的方向分別為 x軸、 y軸、 z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,依題意，易得 A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以 1 1 0 1 1 1C D PB? ? ?＝ （ ， ， ） ， ＝ （ ， ， ） . 所以異面直線 PB 與 CD所成的角是 arccos 63 ， (Ⅲ )假設(shè)存在點(diǎn) Q，使得 它到平面 PCD的距離為 32 ， 由 (Ⅱ )知 ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0) .C P C D? ? ? ? 設(shè)平面 PCD的法向量為 n=(x0,y0,z0). 則 0,0,n CPn CD? ??????所以 00000,0,xzxy? ? ???? ? ??即 0 0 0x y z??， 取 x0=1,得平面 PCD的一個法向量為 n=(1,1,1). 設(shè) ( 0 , , 0 ) ( 1 1 ) , ( 1 , , 0 ) ,Q y y CQ y? ? ? ? ?由 32CQ nn ?，得 1 3 ,23 y?? ?解 y=12 或y=52 (舍去 )， 此時 13,22AQ Q D??，所以存在點(diǎn) Q滿足題意，此時 13AD?. 廣東卷 20．（本小題滿分 14 分） 大家網(wǎng)高考論壇 28 如圖 5 所示，四棱錐 P ABCD? 的底面 ABCD 是半徑為 R 的圓的內(nèi)接四邊形，其中 BD 是圓的直徑， 60ABD??， 45BDC??， PD 垂直底面 ABCD ， 22PD R? ， EF， 分別是 PB CD， 上的點(diǎn)，且 PE DFEB FC? ，過點(diǎn) E 作 BC 的平行線交 PC 于 G ． （ 1）求 BD 與平面 ABP 所成角 ? 的正弦值；（ 2）證明： EFG△ 是直角三角形； （ 3）當(dāng) 12PEEB? 時，求 EFG△ 的面積． 【解析】 （ 1）在 Rt BAD? 中， 60ABD??， ,3AB R AD R? ? ? 而 PD 垂直底面 ABCD， 2 2 2 2( 2 2 ) ( 3 ) 1 1P A P D A D R R R? ? ? ? ? 2 2 2 2( 2 2 ) ( 2 ) 2 3P B P D B D R R R? ? ? ? ?, 在 PAB? 中， 2 2 2PA AB PB??,即 PAB? 為以 PAB? 為直角的直角三角形。 NMB 1C 1A 1HFECBAO大家網(wǎng)高考論壇 18 所以 11ta n 5OCO N C ON? ? ?，故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 sin45176。 方法一（綜合法） （ 1） 取 OB 中點(diǎn) E，連接 ME， NE M E C D M E C D?，‖ AB, AB ‖ ‖ 又 ,NE O C M NE O CD? 平 面 平 面‖ ‖ M N O C D? 平 面‖ （ 2） CD‖ AB, MDC?∴ 為異面直線 AB 與 MD 所成的角（或其補(bǔ)角 ） 作 ,AP CD P? 于 連接 MP ??平 面 A B C D ，∵ OA ∴ CD MP 大家網(wǎng)高考論壇 14 x yzNMABDCOP 2,42A D P ???∵ ∴ DP = 22 2M D M A A D? ? ?， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD ?? ? ? ? ? ? ?∴ 所以 AB 與 MD 所成角 的大小為 3? （ 3） AB 平 面∵ ∴‖ OCD,點(diǎn) A 和點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離相等 ，連接 OP,過點(diǎn) A 作 AQ OP? 于點(diǎn) Q， , , ,A P CD O A CD CD O A P A Q CD? ? ? ?平 面∵ ∴ ∴ 又 ,A Q O P A Q O CD?? 平 面∵ ∴ ,線段 AQ 的長就是點(diǎn) A 到平面 OCD 的距離 2 2 2 2 2 1 3 24122O P O D D P O A A D D P? ? ? ? ? ? ? ? ?∵， 22AP P?? 22223322O A A PAQOP? ? ?∴，所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 方法二 (向量法 ) 作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO 所在直線為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N??, (1) 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 OCD 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n O P n O D?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 22( 1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n ? ? ? ?∵ M N O C D? 平 面‖ (2)設(shè) AB 與 MD 所成的角 為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 大家網(wǎng)高考論壇 15 1c os ,23AB MDAB MD???? ? ??∴ ∴ , AB 與 MD 所成角 的大小為 3? (3)設(shè)點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對值 , 由 (1,0, 2)OB ??, 得 23OB ndn???.所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 山東卷 (20)(本小題滿分 12 分 ) 如圖，已知四棱錐 PABCD，底面 ABCD 為菱形， PA⊥平面ABCD， 60ABC? ? ? ,E， F 分別是 BC, PC 的中點(diǎn) . （Ⅰ）證明： AE⊥ PD。 12G E G B B EG F G A A F? ? ? 故 39。 12 分 解法二： 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA 為 x 軸的正半軸， 建立如圖所示直角坐標(biāo)系 D xyz? ． 依題設(shè)， 1( 2 2 0) ( 0 2 0) ( 0 2 1 ) ( 2 0 4)B C E A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． ( 0 2 1 ) ( 2 2 0)D E D B??， ， ， ， ， 11( 2 2 4 ) ( 2 0 4 )A C D A? ? ? ?， ， ， ， ，． 6 分 （ Ⅱ ）作 GH DE? ，垂足為 H ，連結(jié) 1AH ．由三垂線定理知 1AH DE? ， 故 1AHG? 是二面角 1A DE B??的平面角． 半徑為 4 的球的兩條弦 AB 、 CD 的長度分別等于2 43， M 、 N 分別為 AB 、 CD 的 中點(diǎn) ， 每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，有 下列四個命題： ① 弦 AB 、 CD 可能 相交于點(diǎn) M ② 弦 AB 、 CD 可能 相交于點(diǎn) N ③ MN 的最大值為 5 ④ MN 的最小值為 1 其中真命題的個數(shù)為 C A． 1個 B． 2 個 C． 3個 D． 4個 13.（ 湖北卷 3） 用與球心距離為 1的平面去截球，所得的截面面積為 ? ，則球的體積為 B A. 38? B. 328 ? C. ?28 D. 332? 14，（ 湖南卷 5） 設(shè)有直線 m、 n和平面 ? 、 ? .下列四個命題中，正確的是 ( D ) m∥ ? ,n∥ ? ,則 m∥ n 大家網(wǎng)高考論壇 3 m? ? ,n? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,則 ? ∥ ? ? ? ? ， m? ? ,則 m? ? ? ? ? ， m? ? ， m? ? ,則 m∥ ? 15.（ 湖南卷 9） 長方體 ABCD－ A1B1C1D1的 8個頂點(diǎn)在同一球面上，且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1,則頂點(diǎn) A、 B間的球面距離是 ( C ) 2? B. 2? C. 22? D. 24? 16.（ 陜西卷 9） 如圖， l A B A B? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ， ，到 l的距離分別是 a 和 b ， AB 與 ??， 所成的角分別是 ? 和 ? ， AB 在??， 內(nèi)的射影分別是 m 和 n ，若 ab? ，則（ D ） A． mn????， B． mn????， C． mn????， D． mn????， 17.（ 陜西卷 14） 長方體 1 1 1 1A B CD A B C D? 的各頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，其中1: : 1 : 1 : 2A B A D A A?． AB， 兩點(diǎn)的球面距離記為 m ， 1AD， 兩點(diǎn)的球面距離記為 n ，則 mn 的值為 ． 12 18.（ 重慶卷 9)如解（ 9）圖，體積為 V 的大球內(nèi)有 4 個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點(diǎn)， 4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的 4 個頂點(diǎn) .V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積， V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是 D （ A） V1=2V (B) V2=2V （ C） V1 V2 （ D） V1 V2 19.（ 福建卷 6)如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,則 BC1與平面 BB1D1D所成角的正弦值為 D A B a b l ? ? 大家網(wǎng)高考論壇 4 A. 63 B. 265 C. 155 D. 105 20.（ 廣東卷 5） 將正三棱柱截去三個角（如圖 1所示 A B C， ， 分別是 GHI△ 三邊的 中點(diǎn)）得到幾何體如圖 2，則該幾何體按圖 2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ A ） 21.（ 遼寧卷 11） 在正方體 ABCD? A1B1C1D1中， E， F分別為棱 AA1， CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線 A1D1， EF， CD都相交的直線（ D ） A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條 22.（ 海南卷 12） 某幾何體的一條棱長為 7 ， 在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為 6 的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為 a和 b的線段，則 a + b的最大值為（ C ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 23.（ 海南卷 15） 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。 9π2 9.（ 遼 寧卷 14） 在體積為 43? 的球的表面上有 A， B， C 三點(diǎn)， AB=1， BC= 2 ， A， C兩點(diǎn)的球 面 距離為 33? ，則球心到平面 ABC的距離為 _________． 32 三．解答題： 1.（ 全國一 18） （本小題滿分 12 分） PP圖 1 2圖大家網(wǎng)高考論壇 6 （注意： 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側(cè)面 ABC? 底面 BCDE ， 2BC? ， 2CD? ，AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （ Ⅱ ）設(shè) CE 與平面 ABE 所成的角為 45 ，求二面角 C AD E??的大?。? 解：（ 1）取 BC 中點(diǎn) F ，連接 DF 交 CE 于點(diǎn) O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2ta n ta n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90OED ODE? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內(nèi)過 C 點(diǎn)作 AD 的 垂線 ，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求 二面角 的平面角．