【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P A BPDPAADAB ． （Ⅰ）證明 ?AD 平面 PAB ； （Ⅱ）求異面直線 PC 與 AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角 ABDP ?? 的大?。? （ 19）本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．滿(mǎn)分 12 分． （Ⅰ）證明：在 PAD? 中，由題設(shè) 22,2 ?? PDPA 可得 222 PDADPA ?? 于是 PAAD? .在矩形 ABCD 中， ABAD? .又 AABPA ?? ， 所以 ?AD 平面 PAB ． （Ⅱ）解：由題設(shè)， ADBC// ，所以 PCB? （或其補(bǔ)角）是異面直線 PC 與 AD 所成的角 . 在 PAB? 中，由余弦 定理得 由（Ⅰ）知 ?AD 平面 PAB ， ?PB 平面 PAB ， 所以 PBAD? ，因而 PBBC? ，于是 PBC? 是直角三角形，7c os222 ?????? P A BABPAABPAPB大家網(wǎng)高考論壇 13 NMABDCO故 27tan ?? BCPBP CB ． 所以異面直線 PC 與 AD 所成的角的大小為 27arctan ． （Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn) P 做 ABPH? 于 H，過(guò)點(diǎn) H 做 BDHE? 于 E，連結(jié) PE 因?yàn)??AD 平面 PAB ， ?PH 平面 PAB ，所以 PHAD? .又 AABAD ?? ， 因而 ?PH 平面 ABCD ，故 HE 為 PE 再平面 ABCD 內(nèi)的射影 .由三垂線定理可知， PEBD? ，從而 PEH? 是二面角 ABDP ?? 的平面角。 由題設(shè)可得， 134,13,2,160c o s,360s i n22???????????????BHBDADHEADABBDAHABBHPAAHPAPH ?? 于是再 PHERT? 中， 439tan ?PEH 所以二面角 ABDP ?? 的大小為 439arctan ． 安徽卷 （ 18）． （本小題滿(mǎn)分 12 分 如圖，在四棱錐 O ABCD? 中，底面 ABCD 四邊長(zhǎng)為 1 的菱形， 4ABC ???, O A ABCD? 底 面 , 2OA? ,M 為 OA 的中點(diǎn)， N 為 BC 的中點(diǎn) （ Ⅰ ）證明：直線 MN OCD平 面‖ ； （ Ⅱ ）求異面直線 AB 與 MD 所成角的大??； （ Ⅲ ）求點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離。 方法一（綜合法） （ 1） 取 OB 中點(diǎn) E，連接 ME， NE M E C D M E C D?，‖ AB, AB ‖ ‖ 又 ,NE O C M NE O CD? 平 面 平 面‖ ‖ M N O C D? 平 面‖ （ 2） CD‖ AB, MDC?∴ 為異面直線 AB 與 MD 所成的角（或其補(bǔ)角 ） 作 ,AP CD P? 于 連接 MP ??平 面 A B C D ，∵ OA ∴ CD MP 大家網(wǎng)高考論壇 14 x yzNMABDCOP 2,42A D P ???∵ ∴ DP = 22 2M D M A A D? ? ?， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD ?? ? ? ? ? ? ?∴ 所以 AB 與 MD 所成角 的大小為 3? （ 3） AB 平 面∵ ∴‖ OCD,點(diǎn) A 和點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離相等 ，連接 OP,過(guò)點(diǎn) A 作 AQ OP? 于點(diǎn) Q， , , ,A P CD O A CD CD O A P A Q CD? ? ? ?平 面∵ ∴ ∴ 又 ,A Q O P A Q O CD?? 平 面∵ ∴ ,線段 AQ 的長(zhǎng)就是點(diǎn) A 到平面 OCD 的距離 2 2 2 2 2 1 3 24122O P O D D P O A A D D P? ? ? ? ? ? ? ? ?∵， 22AP P?? 22223322O A A PAQOP? ? ?∴，所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 方法二 (向量法 ) 作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO 所在直線為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N??, (1) 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 OCD 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n O P n O D?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 22( 1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n ? ? ? ?∵ M N O C D? 平 面‖ (2)設(shè) AB 與 MD 所成的角 為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 大家網(wǎng)高考論壇 15 1c os ,23AB MDAB MD???? ? ??∴ ∴ , AB 與 MD 所成角 的大小為 3? (3)設(shè)點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對(duì)值 , 由 (1,0, 2)OB ??, 得 23OB ndn???.所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 山東卷 (20)(本小題滿(mǎn)分 12 分 ) 如圖，已知四棱錐 PABCD，底面 ABCD 為菱形， PA⊥平面ABCD， 60ABC? ? ? ,E， F 分別是 BC, PC 的中點(diǎn) . （Ⅰ）證明： AE⊥ PD。 （Ⅱ）若 H 為 PD 上的動(dòng)點(diǎn)， EH 與平面 PAD 所成最大角的正切值為 62 ，求二面角 E— AF— C 的余弦值 . （Ⅰ）證明：由四邊形 ABCD 為菱形，∠ ABC=60176。，可得△ABC 為正三角形 . 因?yàn)? E 為 BC 的中點(diǎn)，所以 AE⊥ BC. 又 BC∥ AD，因此 AE⊥ AD. 因?yàn)?PA⊥平面 ABCD， AE? 平面 ABCD，所以 PA⊥ AE. 而 PA ? 平面 PAD， AD? 平面 PAD 且 PA∩ AD=A， 所以 AE⊥平面 PAD，又 PD? 平面 PAD. 所以 AE⊥ PD. （Ⅱ）解：設(shè) AB=2， H 為 PD 上任意一點(diǎn)，連接 AH，EH. 由（Ⅰ）知 AE⊥平面 PAD， 則∠ EHA 為 EH 與平面 PAD 所成的角 . 在 Rt△ EAH 中， AE= 3 ， 所以 當(dāng) AH 最短時(shí)，∠ EHA 最大， 即 當(dāng) AH⊥ PD 時(shí)，∠ EHA 最大 . 此時(shí) tan∠ EHA= 36,2AEAH AH?? 因此 AH= 2 .又 AD=2，所以∠ ADH=45176。， 所以 PA=2. 解法一：因?yàn)? PA⊥平面 ABCD， PA ? 平面 PAC， 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 過(guò) E 作 EO⊥ AC 于 O，則 EO⊥平面 PAC， 過(guò) O 作 OS⊥ AF 于 S，連接 ES，則∠ ESO 為二面角 EAFC 的平面角， 大家網(wǎng)高考論壇 16 在 Rt△ AOE 中， EO=AE sin30176。 = 32 ， AO=AE cos30176。 =32 , 又 F 是 PC 的中點(diǎn)，在 Rt△ ASO 中， SO=AO sin45176。 =324 , 又 22 3 8 3 0 ,4 9 4S E E O S O? ? ? ? ? 在 Rt△ ESO 中， cos∠ ESO=32154 ,5304SOSE ?? 即所求二面角的余弦值為 解法二：由（Ⅰ）知 AE， AD， AP 兩兩垂直，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又 E、 F 分別為 BC、 PC 的中點(diǎn)，所以 E、 F 分別為 BC、 PC 的中點(diǎn)，所以 A（ 0， 0， 0）， B（ 3 ， 1， 0）， C（ C， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 3 ， 0， 0）， F（ 31, ,122 ）， 所以 31( 3 , 0 , 0 ) , ( , , 1 ) .22A E A F?? 設(shè)平面 AEF 的一法向量為 1 1 1( , , ),m x y z? 則 0,0,m AEm AF? ?????? 因此 11 1 13 0 ,31 0.22xx y z? ??? ? ? ??? 取 1 1, ( 0 , 2 , 1),zm? ? ? ?則 因?yàn)? BD⊥ AC， BD⊥ PA， PA∩ AC=A， 所以 BD⊥平面 AFC， 故 BD 為平面 AFC 的一法向量 . 又 BD =（ 3,3,0 ）， 大家網(wǎng)高考論壇 17 所以 cos＜ m, BD ＞ = 2 3 1 5 .5| | | | 5 1 2m B Dm B D ???? 因?yàn)? 二面角 EAFC 為銳角， 所以所求二面角的余弦值為 江蘇 卷 16．在四面體 ABCD 中， CB= CD, AD⊥ BD，且 E ,F 分別是 AB,BD 的中點(diǎn)， 求證：（Ⅰ）直線 EF ∥面 ACD ； （Ⅱ）面 EFC⊥面 BCD ． 【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分別是 AB,BD 的中點(diǎn)， ∴ EF 是△ ABD 的中位線，∴ EF∥ AD， ∵ EF? 面 ACD ， AD? 面 ACD ，∴直線 EF∥面 ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥ BD ， EF∥ AD，∴ EF⊥ BD. ∵ CB=CD, F 是 BD 的中點(diǎn)，∴ CF⊥ BD. 又 EF CF=F，∴ BD⊥面 EFC．∵ BD? 面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ． 江西卷 ．解 ：（ 1）證明：依題設(shè)， EF 是 ABC? 的中位線，所以 EF ∥ BC ， 則 EF ∥ 平面 OBC ，所以 EF ∥ 11BC 。 又 H 是 EF 的 中 點(diǎn) ， 所 以 AH ⊥ EF ，則AH ⊥ 11BC 。 因?yàn)?OA ⊥ OB ， OA ⊥ OC ， 所以 OA ⊥ 面 OBC ，則 OA ⊥ 11BC ， 因此 11BC ⊥ 面 OAH 。 （ 2）作 ON ⊥ 11AB 于 N ，連 1CN。因?yàn)?1OC ⊥ 平面 11OAB ， 根 據(jù)三垂線定理知， 1CN⊥ 11AB ， 1ONC? 就是二面角 1 1 1O AB C??的平面角。 作 EM ⊥ 1OB 于 M ，則 EM ∥ OA ，則 M 是 OB 的中點(diǎn)，則 1EM OM??。 設(shè) 1OB x? ，由 111OB OAMB EM? 得， 312xx ?? ，解得 3x? ， 在 11Rt OAB? 中， 221 1 1 1 3 52A B O A O B? ? ?，則， 111135O A O BON AB???。 NMB 1C 1A 1HFECBAO大家網(wǎng)高考論壇 18 所以 11ta n 5OCO N C ON? ? ?，故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 解法二： （ 1）以直線 OA OC OB、 、 分別為 xy、 、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， O xyz? 則 11( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , , )22A B C E F H 所以 1 1 1 1( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 2 )2 2 2 2A H O H B C? ? ? ? ? 所以 0 , 0A H B C O H B C? ? ? ? 所以 BC? 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 11BC ∥ BC ，故： 11BC? 平面 OAH (2)由已知1 3( ,0,0),2A設(shè) 1(0,0, )Bz 則111( , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 )2A E E B z? ? ? ? ? 由 1AE 與 1EB 共線得 :存在 R?? 有 11AE EB?? 得 113 ( 0 , 0 , 3 )21 ( 1 )zBz??? ? ? ?? ? ? ??? ??? 同理 : 1(0,3,0)C 1 1 1 133( , 0 , 3 ) , ( , 3 , 0 )22A B A C? ? ? ? ? 設(shè) 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 1 1 1ABC 的一個(gè)法向量 , 則3 3023 302xzxy?? ? ?????? ? ???令 2x? 得 1yx?? 1 (2,1,1).n?? 又 2 (0,1,0)n ? 是平面 11OAB 的一個(gè)法量 12 16c o s , 64 1 1nn? ? ? ? ?