【文章內(nèi)容簡介】 中，寫出過頂點 A的一個平面 __AB1D1_____，使該平面與正方體的 12條棱所在的直線所成的角均相等 (注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況 )。 【范例導析】 例 1． 如圖 ,在四棱錐 P— ABCD 中 ,底面 ABCD是正方形 ,側(cè) 棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E是 PC 的中點 ,作 EF⊥ PB交 PB于點 F. （ 1）證明 PA//平面 EDB； （ 2）證明 PB⊥平面 EFD. 解析： 本小題考查直線與平面平行 ,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識 ,考查空間想象能力和推理論證能力 . 證明： （ 1）連結(jié) AC,AC交 BD于 O,連結(jié) EO. ∵底面 ABCD是正方形 ,∴點 O是 AC的中點 在 PAC? 中 ,EO是中位線 ,∴ PA // EO 而 ?EO 平面 EDB且 ?PA 平面 EDB, 所以 ,PA // 平面 EDB （ 2）∵ PD⊥底面 ABCD且 ?DC 底面 ABCD,∴ DCPD? ∵ PD=DC,可知 PDC? 是等腰 直角三角形 ,而 DE 是斜邊 PC的中線 , ∴ PCDE? . ① 同樣由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥ BC. ∵底面 ABCD是正方形 ,有 DC⊥ BC,∴ BC⊥平面 PDC. 而 ?DE 平面 PDC,∴ DEBC? . ② 由①和②推得 ?DE 平面 PBC. 而 ?PB 平面 PBC,∴ PBDE? 又 PBEF? 且 EEFDE ?? ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2． 如圖，△ ABC 為正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ， CE ＝ CA ＝ 2 BD ，M 是 EA 的中點， 求證：（ 1） DE ＝ DA ；（ 2）平面 BDM ⊥平面 ECA ； （ 3）平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析： （ 1）證明 DE ＝ DA ，可以通過圖形分割，證明△ DEF ≌△ DBA。（ 2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（ 1）知 DM ⊥ EA ，取 AC 中點 N ，連結(jié)MN 、 NB ，易得四邊形 MNBD 是矩形。從而證明 DM ⊥平面 ECA。 證明： （ 1）如圖，取 EC 中點 F ，連結(jié) DF。 ∵ EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，得 DB ⊥平面 ABC 。 ∴ DB ⊥ AB ， EC ⊥ BC。 ∵ BD ∥ CE ， BD ＝ 21 CE ＝ FC ， 則四邊形 FCBD 是矩形， DF ⊥ EC。 又 BA ＝ BC ＝ DF ，∴ Rt△ DEF ≌ Rt△ ABD ，所以 DE ＝ DA。 （ 2）取 AC 中點 N ，連結(jié) MN 、 NB ， A B C D P E F ∵ M 是 EA 的中點，∴ MN 21EC。 由 BD 21 EC ，且 BD ⊥平面 ABC ，可得四邊形 MNBD 是矩形，于是 DM ⊥ MN。 ∵ DE ＝ DA ， M 是 EA 的中點，∴ DM ⊥ EA ．又 EA ? MN ＝ M ， ∴ DM ⊥平面 ECA ，而 DM ? 平面 BDM ，則平面 ECA ⊥平面 BDM。 （ 3）∵ DM ⊥平面 ECA ， DM ? 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA ⊥平 面 ECA。 點評： 面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 例 3． 如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AC ＝ BC ＝ 1， ∠ ACB ＝ 90176。， AA1 ＝ 2 ， D 是 A1B1 中點． （ 1） 求證 C1D ⊥平面 A1B ；（ 2）當點 F 在 BB1 上什么位置時， 會使得 AB1 ⊥平面 C1DF ？并證明你的結(jié)論。 分析： （ 1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要證明 C1D 垂直交線 A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。（ 2）由（ 1）得 C1D ⊥ AB1 ，只要 過 D 作 AB1 的垂線，它與 BB1 的交點即為所求的 F 點位置。 證明： （ 1）如圖，∵ ABC— A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝ B1C1 ＝ 1，且∠ A1C1B1 ＝ 90176。又 D 是 A1B1 的中點， ∴ C1D ⊥ A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ， C1D ? 平面 A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥ C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 （ 2）解：作 DE ⊥ AB1 交 AB1 于 E ，延長 DE 交 BB1 于 F ，連結(jié) C1F ，則AB1 ⊥平面 C1DF ，點 F 即為所求。 ∵ C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1 ? 平面 AA1B1B ， ∴ C1D ⊥ AB1 ．又 AB1 ⊥ DF ， DF ? C1D ＝ D ，∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。 點評： 本題（ 1）的證明中，證得 C1D ⊥ A1B1 后，由 ABC— A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ，立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。（ 2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。 【反饋演練】 1．下列命題中錯誤的是 （ 3） 。 （ 1） 若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線 （ 2） 若一平面經(jīng)過另一平面的垂線，則兩個平面互相垂直 （ 3） 若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （ 4） 若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設(shè) zyx , 是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若 zx? ，且 yxzy //,則? ”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號） ① x為直線， y， z為平面 ② x， y， z為平面 ③ x， y為直線， z為平面 ④ x， y為平面， z為直線 ⑤ x， y， z為直線 3． 在三棱錐 的四個面中，直角三角形最多可以有 ___4__個。 4． 若 AB 的中點 M 到平面 ? 的距離為 cm4 ，點 A 到平面 ? 的距離為 cm6 ，則點 B 到平面 ? 的距離為_2或 14________cm 。 5．命題 A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命題 A的等價命題 B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等??） 6． α 、 β 是兩個不同的平面， m、 n是平面 α 及 β 之外的兩條不同直線 .給出四個論斷： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三 個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的 一個 ． ． 命題： 。 答案： m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ?m⊥ n或 m⊥ n， m⊥ α ， n⊥ β ?α ⊥ β 7． 在直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90176。， AB＜ CD， SD⊥平面 ABCD， AB=AD=a， S D= a2 ，在線段 SA 上取一點 E（不含端點）使 EC=AC，截面 CDE與 SB交于點 F。 （ 1）求證：四邊形 EFCD為直角梯形； （ 2）設(shè) SB的中點為 M，當 ABCD 的值是多少時，能使△ DMC為直角三角形？請給出證明 . 解 ： （ 1）∵ CD∥ AB， AB? 平面 SAB ∴ CD∥平面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF， ∴ CD∥ EF ∵ ,90 0 ADCDD ???? 又 ?SD 面 ABCD ∴ CDSD? ??CD 平面 SAD，∴ EDCD? 又 CDABEF ?? EFCD? 為直角梯形 (2)當 2CDAB? 時， DMC? 為直角三角形 . 022 45,2,2, ???????? B D CaADABBDaCDaAB? BDBCBC ??? ,2 , ??SD 平面 ???? BCBCSDA B CD , 平面 SBD . 在 SBD? 中， MDBSD ,? 為 SB中點， SBMD?? . ??MD 平面 ?MCSBC, 平面 ,SBC MD MC DMC? ? ??為直角三角形。 2020 高中數(shù)學 精講精練 第八章 直線和圓的方程 【 知識 圖解】 A BCDSE FM點 中點坐標 兩點間距離 直 線 直線斜率與傾斜角 平行 方程形式 點斜式 斜截式 兩點式 截距式 一般式 直線與圓的方程 【 方 法點撥 】 1．掌握直線的傾斜角，斜率以及直線方程的各種形式，能正確地判斷兩直線位置關(guān)系，并能熟練地利用距離公式解決有關(guān)問題．注意直線方程各種形式應(yīng)用的條件．了解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，能解決一些簡單的線性規(guī)劃問題． ,并能夠熟練運用對稱性來解決問題 . 3．熟練運用待定系數(shù)法求圓的方程 ． 4．處理解析幾何問題時，主要表現(xiàn)在兩個方面： (1)根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立與之等價的代數(shù)結(jié)構(gòu) 。(2)根據(jù)方程 的 代數(shù)特征洞察 并揭示 圖形的性質(zhì)． 5．要重視坐標法 ， 學會如何借助于坐標系，用 代數(shù)方法研究幾何問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想． ；還要注意綜合運用三角函數(shù)、平面向量等與本章內(nèi)容關(guān)系比較密切的知識． 第 1 課 直線的方程 【考點 導讀 】 理解直線傾斜角、斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件，求出直線的方程． 高考中主要考查直線的斜率、截距、直線相對坐標系位置確定和求在不同條件下的直線方程，屬中、低檔題，多以填空題和選擇題出現(xiàn)，每年必考 . 【基礎(chǔ) 練習 】 1. 直線 xcosα＋ 3 y＋ 2＝ 0 的傾斜角 范圍是 50, ,66???? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? 2. 過點 )3,2(P ，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 1 0 3 2 0? ? ? ? ?或x y x y l經(jīng)過點（ 3， 1），且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，則直線 l的方程為 42? ? ? ? ?或y x y x k 取任何實數(shù)，直線 ? ? ? ? ? ?1 4 2 3 2 1 4 0k x k y k? ? ? ? ? ?必經(jīng)過一定點 P，則 P的坐標為 （ 2， 2） 【 范例導析 】 例 A（－ 1， 2）、 B（ m， 3） （ 1）求直線 AB的斜率 k； （ 2）求直線 AB的方程； （ 3）已知實數(shù) m 3 1, 3 13??? ? ? ?????，求直線 AB的傾斜角 α的取值范圍． 分析：運用兩點連線的子斜率公式解決，要注意斜率不存在的情況 . 解 :（ 1）當 m=－ 1時，直線 AB的斜率不存在． 當 m≠－ 1時， 11k m? ? ， （ 2）當 m=－ 1時， AB： x=－ 1， 當 m≠ 1時， AB： ? ?1211yxm? ? ?? . （ 3）①當 m=－ 1時， 2??? ； ②當 m≠－ 1時， ∵ ?13, 3 ,km ???? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ∴ 2,6 2 2 3? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? 故綜合①、②得，直線 AB的傾斜角 2,63??? ??????? 點撥：本題容易忽視對分母等于 0和斜率不存在情況的討論 . 例 l 過點 P(2,1),且分別交 x 軸、 y 軸的正半軸于點 A、 B、 O為坐標原點 . (1)當△ AOB的面積最小時 ,求直線 l 的方程 。 (2)當 |PA|178。 |PB|取最小值時 ,求直線 l 的方程 . 分析 ： 引進合適的變量 ,建立相應(yīng)的目標函數(shù) ,通過尋找函數(shù)最值的取得條件來求 l 的方程 . 解 （ 1）設(shè)直線 l 的方程為 y1=k(x2),則點 A(21k ,0),B(0,12k),且 21k 0, 12k0,即 k0. △ AOB 的面積 S=12 (12k)(21k )=12 [(4k)+ 1k? +4]≥ 4,當 4k=1k? ,即 k= 12