高考數(shù)學(xué)立體幾何大題30題(編輯修改稿)
2025-05-14 13:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解：（1）由題意，A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC。又AC⊥BC，∴BC⊥平面A1ACC1（II）過(guò)D作DH⊥AB于H，又A1D⊥平面ABC，∴AB⊥A1H∴A1H是H1到AB的距離∵BA1⊥AC1，BC⊥平面A1ACC1，由三垂線定理逆定理，得A1C⊥AC1∴ A1ACC1是菱形 ∴A1A=AC=a, A1D=.13．如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1B中點(diǎn)，異面直線CF與DE所成的角為90176。. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點(diǎn)BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HMHC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中點(diǎn)O，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標(biāo)系，設(shè)棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（），D（），E（0，0，h），∴，由CF⊥DE，得，解得h=2. （2）連CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，連CG，由三垂線定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小為arctan.，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，M、N分別是AD、PB的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面MNC的距離。解：（I）連PM、MB ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥MD…1分∴PM=BM 又PN=NB ∴MN⊥PB………3分得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分 平面PBC∴平面MNC⊥平面PBC……6分（II）取BC中點(diǎn)E，連AE，則AE//MC∴AE//平面MNC，A點(diǎn)與E點(diǎn)到平面MNC的距離相等…7分取NC中點(diǎn)F，連EF，則EF平行且等于BN ∵BN⊥平面MNC ∴EF⊥平面MNC，EF長(zhǎng)為E點(diǎn)到平面MNC的距離……9分 ∵PD⊥平面ABCD，BC⊥DC ∴BC⊥PC. 即點(diǎn)A到平面MNC的距離為……12分15．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC. （Ⅰ）求證：直線BC1//平面AB1D； （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大??； （Ⅲ）求三棱錐C1—ABB1的體積. （Ⅰ）證明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四邊形BDB1C1是平行四邊形， ∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直線BC1//平面AB1D.（Ⅱ）解：過(guò)B作BE⊥AD于E，連結(jié)EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中點(diǎn)， 在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60176。即二面角B1—AD—B的大小為60176。 （Ⅲ）解法一：過(guò)A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1—ABB1的體積為 解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中， 即三棱錐C1—ABB1的體積為16．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1，BC=BB1=1，D為BC上一點(diǎn)，且滿足AD⊥C1D.（I）求證：截面ADC1⊥側(cè)面BC1；（II）求二面角C—AC1—D的正弦值；（III）求直線A1B與截面ADC1距離.（I）由題知：……………………………………………4分I（II）故∠CEF為二面角C—AC1—D的平面角…………………………………………6分在Rt△C1CD中，求出………………8分（III）∥A1B∥面AC1D，設(shè)B到面ADC1距離為d……………………………………10分…………………12分注：其他證法相應(yīng)給分17．如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，∠ABC＝90176。，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。 （I）求二面角P—CD—A的正切值； （II）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E，連結(jié)PE ∵PA⊥平面ABCD，由三垂線定理知：PE⊥CD ∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分 在中， ………………4分 在中， ∴二面角P—CD—A的正切值為………………6分 （II）在平面APB中，過(guò)A作AH⊥PB，垂足為H ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC 又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB ∴平面PBC⊥平面PAB ∴AH⊥平面PBC 故AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面PBC的距離………………10分 在等腰直角三角形PAB中，所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為…………12分18．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，VA⊥平面ABCD。 （1）求證：VC⊥CD。 （2）若，求CV與平面VAD所成的角。（1）連結(jié)AC 取AD中點(diǎn)G，連CG，則ABCG為正方形 又 …………………………（4分） VA⊥平面ABCD，DC⊥AC 由三垂線定理：VC⊥CD………………（6分） （2）連VG，由面VAD 是CV與平面VAD所成的角………………（9分） ∴CV與平面VAD所成角為………………………（12分）19．如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1，B，M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N. （Ⅰ）求證：EM∥平面A1B1C1D1； （Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.（A）（Ⅰ）證明：取A1B1的中點(diǎn)F，連EF，C1F∵E為A1B中點(diǎn)∴EF∥ BB1…………2分又∵M(jìn)為CC1中點(diǎn) ∴EF∥ C1M∴四邊形EFC1M為平行四邊形 ∴EM∥FC1 ……4分而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1 ∴N為C1D1 中點(diǎn)過(guò)B1作B1H⊥A1N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理 BH⊥A1N∠BHB1即為二面角B—A1N—B1的平面角……8分設(shè)AA1=a， 則AB=2a， ∵A1B1C1D1為正方形∴A1H= 又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=在Rt△BB1H中，tan∠BHB1= 即二面角B—A1N—B1的正切值為……12分（B）（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=
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